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三角関数の公式 n倍角の公式の変形
nを0以上の整数とするとき、 2^n cos^(n+1) θ = cos (n+1)θ + Σ[k=1,n] 2^(n-k) cos^(n-k) θ cos (k-1)θ 2^n cos^(n) θ sin θ = sin (n+1)θ + Σ[k=2,n] 2^(n-k) cos^(n-k) θ sin (k-1)θ が成り立つらしいのですが、どう証明したらよいのでしょうか？ なお、n=1とおくと、 2 cos^(2) θ = cos 2θ +1 , 2 cos θ sin θ = sin 2θ となり、２倍角の公式になります。 ただし、Σ[k=2,1](*)=0 です。 n=2とおくと、３倍角の公式になります。
- jlglg
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こういう問題は、数学的帰納法を使いましょう。 2^(n+1)cos^(n+2)θ＝2cosθ×2^ncos^(n+1)θ ＝2cosθcos(n+1)θ+Σ[k=1,n]2^(n+1-k)cos^(n+1-k)θcos(k-1)θ＝☆ 積⇔和の公式により 2cosθcos(n+1)θ＝cos(n+2)θ＋cos(nθ) であり cos(nθ)＝2^{n+1-(n+1)}cos^{n+1-(n+1)}θcos{(n+1)-1}θ だから n+1のときも成り立つことが証明できました。
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倍角の公式については、例えば下記ページ(チェビシェフ多項式関連)などが参考になるでしょう。 説明しきれません。まずは、ご一覧ください。 ------------------------------------- http://ufcpp.net/study/digital_filter/chebyshev.html http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/tschebyscheff.htm からリンクして、 http://www10.plala.or.jp/rascalhp/math.htm#5
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