半角公式と倍角公式について

質問

以下の問題について倍角公式を逆に考えればいいと教えていただいたのですが、倍角公式をどう逆にして半角公式を証明したらいいかがわかりません教えていただけないでしょうか？よろしくお願いします
1）SIN^2(α/2)=1-COSα/2
2）COS^2(α/2)=1+COSα/2
3) SIN(α/2)COS(α/2)=SINα/2

回答No.5

sanori · ベストアンサー

三たび登場。

＞＞＞
質問ですが（3）式の証明において
Ａ＝Ｂとした後の式でＣＯＳはどうなるのでしょうか？
それ以降の証明方法で迷っています。
お手数ですが教えてください。

＃５さんのおっしゃるとおりです。
実は、前回回答を書いている途中に、何か変なことを書いているかな、と自分で思っていました。
（＃５様に感謝）

もう１回、さっきの回答のところから。

サインの加法定理は、
sin(Ａ＋Ｂ)　＝　sinＡcosＢ　＋　sinＢcosＡ　　・・・（あ）
sin(Ａ－Ｂ)　＝　sinＡcosＢ　－　sinＢcosＡ　　・・・（い）

いきなり、Ｂ＝Ａ　としてみると
sin(２Ａ)　＝　sinＡcosＡ　＋　sinＡcosＡ　　・・・（あ’）
sin(０)　＝　０　＝　sinＡcosＡ　－　sinＡcosＡ　←あたりまえ

（あ’）より、
sin(２Ａ)　＝　２sinＡcosＡ

Ａ＝α／２　と置けば、
sin(α)　＝　２sin(α／２)cos(α／２)

両辺を２で割ればできあがり。

回答No.4

Tacosan

sin の加法定理から
sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
なので A=B とおけば倍角の公式
sin 2A = 2 sin A cos A
になる. ここで A = α/2 とおけば終わり. ここで和積を持ち出す意味はありません.

回答No.3

sanori

へいっ　まいどっ　　＾＾

＞＞＞
親切な回答ありがとうございます。
ですが1つわからないのですがここでいうＡとＢはαとβのことですよね？
では、途中にあるＢ＝Ａというのは成り立つのですか？

ああ、なるほど。ありがちな悩みですね。
よい質問だと思います。

cos（Ａ＋Ｂ）　＝　cosＡcosＢ　－　sinＡsinＢ
という式は、ＡやＢがいかなる値でも成り立つ式なので、
Ｂ＝Ａ　にした場合も当然成り立つ、ということです。

変なたとえですが、たとえば、
「チョコレートは、お菓子です。」という公式（定理）があるとすれば、
「ミルクチョコレートは、お菓子です。」
も正しく
「アーモンドチョコは、お菓子です。」
も正しいですよね？

「コサインの加法定理は、いかなるＡ、Ｂについても正しい。」
という定理？があるとすれば、
「コサインの加法定理は、ＡがＢと等しくても正しい。」
ということです。

＞＞＞
また、半角や倍角の公式を覚えず加法定理のみ覚えれば
十分なのでしょうか？

私はそう思っています。
たくさんのことを確実に覚えられる人であれば、半角、倍角、さらには３倍角の公式まで暗記しちゃえばよいでしょう。
しかし、私は記憶力が乏しいので、２乗だの３乗だの何分の１だの、分母がどうしたの、分子がどうしたの、って、正確に覚えられないんですよね。
一応覚えたとしても、マイナスをプラスに間違えるとか、そういうミスをするのを恐れています。
学生の頃の試験でも、倍角・半角の公式そのものを暗記していなければならないような問題に出会ったことがありません。（加法定理から容易に導ける類のものだけでした。）
よって私は、最低限である加法定理２つだけを覚えています。

cos（Ａ±Ｂ）　＝　cosＡcosＢ　干　sinＡsinＢ
sin（Ａ±Ｂ）　＝　sinＡcosＢ　±　sinＢcosＡ

お礼

再度わからない部分があったためお聞きしたいのですが
お礼での投稿しか出来なかったためご了承ください。

質問ですが（3）式の証明において
Ａ＝Ｂとした後の式でＣＯＳはどうなるのでしょうか？
それ以降の証明方法で迷っています。
お手数ですが教えてください。

補足

親切しぎて、お礼を言っても言い切れないほどです。
わかりやすい説明ありがとうございます。
これで、証明が成り立つというのがわかったし、人に説明できると
思います。

また、わからないことがあれば頼ってしまうかもしれないですが
そのときはよろしくお願いします

回答No.2

sanori

こんばんは。
その式だと何か変ですね。

もしや、
1）SIN^2(α/2)　=　（1　-　COS(α)）/2
2）COS^2(α/2)　=　（1　+　COS(α)）/2
3) SIN(α/2)COS(α/2)　=　（SIN(α)）/2
ってことですか？

私は倍角公式は覚えていないので、加法定理から始めます。
（加法定理は色々役立ちますが、人生この方、倍角公式や半角公式を覚える必要が生じたことがないので。）

(1)と(2)は、コサインの加法定理を思い出します。
cos（Ａ＋Ｂ）　＝　cosＡcosＢ　－　sinＡsinＢ
cos（Ａ－Ｂ）　＝　cosＡcosＢ　＋　sinＡsinＢ

左辺同士、右辺同士を足すと、
cos（Ａ＋Ｂ）＋　cos（Ａ－Ｂ）　＝　２cosＡcosＢ
左辺同士、右辺同士を引き算すると、
cos（Ａ＋Ｂ）－　cos（Ａ－Ｂ）　＝　－２sinＡsinＢ
ここで、Ｂ＝Ａのときは、
cos（２Ａ）＋　cos（０）　＝　２cos^2(Ａ)
cos（２Ａ）－　cos（０）　＝　－２sin^2(Ａ)

cos（２Ａ）＋　１　＝　２cos^2(Ａ)
cos（２Ａ）－　１　＝　－２sin^2(Ａ)

ここで、Ａ＝α／２　を代入してみると、
cos（α）＋　１　＝　２cos^2(α／２)　　　→（２）の証明
cos（α）－　１　＝　－２sin^2(α／２)　　→（１）の証明

ここから先は、大丈夫ですよね？

では次に（３）。

サインの加法定理は、
sin(Ａ＋Ｂ)　＝　sinＡcosＢ　＋　sinＢcosＡ
sin(Ａ－Ｂ)　＝　sinＡcosＢ　－　sinＢcosＡ

左辺同士、右辺同士の和をとると
sin(Ａ＋Ｂ)　＋　sin(Ａ－Ｂ)　＝　２sinＡcosＢ

Ｂ＝Ａとしてみると、
sin(２Ａ)　＋　０　＝　２sin^2(Ａ)
ここから先は大丈夫ですね？

補足

親切な回答ありがとうございます。
ですが1つわからないのですがここでいうＡとＢはαとβのことですよね？
では、途中にあるＢ＝Ａというのは成り立つのですか？

また、半角や倍角の公式を覚えず加法定理のみ覚えれば
十分なのでしょうか？

回答No.1

debut

倍角公式から
SIN^2Ａ＝(1-COS(2Ａ))/2　
COS^2Ａ＝(1+COS(2Ａ))/2
SINＡCOSＡ＝(SIN(2Ａ))/2
でＡをα/2で置き換えるだけです。