n倍角の証明

質問

sin4α…sin(2α+2α),sin(α+3α)
sin5α…sin(α+4α),sin(2α+3α),……。

上の式を証明してくださぃ。

私もやってみたんですが、sin,cos共に3倍角までしか出来ませんでした。

できればsin,cos,tan&4倍角,5倍角,6倍角,…と出来る限り証明を出して頂ければ嬉しいです。

1つだけでも良いので式の証明をお願いします。

回答No.3

drmuraberg · ベストアンサー

証明というより、単に計算力の力技でしょう。

ちょっぴり数学的に表すなら、オイラーの公式と二項展開を使う方法です。

オイラーの公式
exp(iα) = cosα + i*sinα iは虚数記号

｛exp(iα)｝＾ｎ = exp(i*nα) = cos(nα) + i*sin(nα) = (cosα + i*sinα)＾ｎ
=ΣnCk*cos＾k(α) ｛i*sinα｝＾(n-k)
=ΣnCk*(i)^(n-k)*cos＾k(α) *sin^(n-k)(α)

nCk = n!/{(n-k)!*k!} です。
Σ（和）はk=0～n で取ります。

これから
cos(nα) = Re [ΣnCk*(i)^(n-k)*cos＾k(α) *sin^(n-k)(α)]
sin(nα) = Im [ΣnCk*(i)^(n-k)*cos＾k(α) *sin^(n-k)(α)]

Reは右辺の実数部、Imは右辺の虚数部です。

(i)^(n-k)　に注意して、計算してみてください。

回答No.2

noname#171582

n倍角の証明と言うけれど、質問の意味がわかりませんな。
何を証明するのですか？

回答No.1

Tacosan

「上の式を証明してくださぃ」とか書いてるけど, これは「証明する」ようなものじゃない.

「私もやってみたんですが、sin,cos共に3倍角までしか出来ませんでした。」とはどういうこと? 「3倍角」ではどんなことをしたの? で, 「4倍角」以降ではどのように計算してどこで詰ってる?

補足

sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
sin2α=2sinαcosα、cos2α=1-2sin^2αより
sin3α=2sinαcosα×cosα+(1-2sin^2α)sinα
=2sinαcos^2α+sinα-2sin^3α
cos^2α=1-sin^2αより
=2sinα(1-sin^2α)+sinα-2sin^3α
=2sinα-2sin^3α+sinα-2sin^3α
=3sinα-4sin^3α

↑こんな感じに証明を出して欲しかったんですが…。

すみません_(._.)_