n次導関数！！

質問

問題はｙ＝e＾x/（1-x）のn次導関数を求めよっていう問題です。ライプニッツの公式を使って、求めていったんですけど、最終的にうまく式をまとめられなくなりました。できたところまで書くので、教えてください。

f(x)=e^xで、g(x)=1/(1-x)とする。
ライプニッツの公式を使って、(f(x)g(x))^(n)＝(ｎ、0)f^(n)(x)g^(0)(x)＋(ｎ、0)f^(n-1)(x)g^(1)(x)＋…＋(n,n)f^(0)(x)g^(n)(x)
＝e^x（1/(1-x)^2）＋ne^x（2/(1-x)^3）＋…＋e^x（n!/(1-x)^(n+1)）
＝e^x(n!/(1-x)^(n+1)）…？？って感じです。階乗のところのまとめ方がよくわかりません。答えは、e^x((1-x)^(-n-1)n!）（Σ(k=0.n)1/k!(1-x)^k)です。
わかりにくいと思いますが、力になってください！！

回答No.1

age_momo

途中で式が間違っています。初項は(ｎ、0)f^(n)(x)g^(0)(x)　　
g(x)は元の関数です。
e^x/(1-x)　　となるはずです。(つまりe^xだけをn回微分)

また、Combineの計算はC[m,n]=m!/n!(m-n)!ですから

Σ[k=0,n]C[n,k]=n!/0!n!+n!/1!(n-1)!+・・・=n!Σ[k=0,n]1/k!(n-k)!

となります。これを踏まえればまとめられます。
ところで答えは
e^x((1-x)^(-n-1)n!)(Σ(k=0,n)1/k!(n-k)!(1-x)^k)
ではないですか？