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n次導関数

f(x)=1/(1+x)のn次導関数をもとめたいんですが f^(n)(x)=(-1)(-1-1)・・・(-1-n+1)(1+x)^(-1-n) になるのがわかりません。 f(x)を1回微分したら(-1)*1^(-2)で n回微分したら^(-2-n)だと思うのですが。 あと最後の項にxが残るのはなぜですか?

noname#87403

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  • 回答No.4
  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)

>n次導関数はf(x)を微分してそれをまた微分してを何度を繰り >返して最終的にどうなるかですよね。 まあ、そういうことです。 で、式f^(n)(x)=・・・は1回微分からn回微分をかけているわけではないです。 順々にかけていってるのは関数部分(1+x)^(・・)にかける数です。 >(-1)(-1-1)とxが付いていません。 それは、2回目の微分で関数部分にかける数だけを言っているのであって、f^(2)(x)=(-1)(-1-1)(1+x)^(-1-1-1)とxは出てきます。 (-1)(-1-1) というところは2回微分したということをさしているわけではなくて、微分を2回目でやめたとすると、関数部分にかける数は(-1)(-1-1)になる、ということです。 (-1)(-1-1)(-1-1-1) ならば微分を3回目でやめたとすると、関数部分にかける数は(-1)(-1-1)(-1-1-1)になる、ということです。 すると、n回の微分でやめれば関数部分にかける数は (-1)(-1-1)(-1-1-1)・・・・・(-1-n+1)になって、関数部分は(1+x)^(-1-n)となるから、 f^(n)(x)={(-1)(-1-1)(-1-1-1)・・・・・(-1-n+1)}(1+x)^(-1-n)という形になる、ということです。 わかりにくかったらすみません。

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質問者からのお礼

すごくわかりやすいです。 本当にどうもありがとうございました。

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  • 回答No.3
  • nettiw
  • ベストアンサー率46% (60/128)

f^(0)=[(1+x)^(-1)] f^(1)=(-1)[(1+x)^(-2)] f^(2)=(-1)(-2)[(1+x)^(-3)] f^(3)=(-1)(-2)(-3)[(1+x)^(-4)] f^(4)=(-1)(-2)(-3)(-4)[(1+x)^(-5)] f^(5)=(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)[(1+x)^(-6)] ・・・ ・・・ f^(n)=(-1)(-2)(-3)・・・(-n)[(1+x)^(-n-1)]    =(n!)・[(-1)^n]・[(1+x)^(-n-1)]  係数は(-1)から始まって(-n)で終わっています。  係数の絶対値は、n!です。 符号は、奇数次導関数では負、偶数次導関数で正ですから、[(-1)^n]です。  (1+x)の次数は、 5 → (5+1) → -(5+1) n → (n+1) → -(n+1)=-n-1 となります。  納得できるまで、書いて見るのが良さそうです。

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質問者からの補足

新たな疑問が生まれてしまいました。 n次導関数はf(x)を微分してそれをまた微分してを何度を繰り返して 最終的にどうなるかですよね。 それなら1回微分からn回微分までどうして掛け算するのでしょうか? 根本的な話になってすみません。

  • 回答No.2
  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)

何回か書いてみれば はじめ・・・(1+x)^(-1) 1回微分・・(-1)*(1+x)^(-2) 2回微分・・(-1)*(-2)*(1+x)^(-3) 3回微分・・(-1)*(-2)*(-3)*(1+x)^(-4) 4回微分・・(-1)*(-2)*(-3)*(-4)*(1+x)^(-5) ・・・・ 0回で-1乗=(-1-0)乗 1回で-2乗=(-1-1)乗 2回で-3乗=(-1-2)乗 3回で-4乗=(-1-3)乗 となっているから、 n回で (-1-n)乗です。。 あと、係数は (-1)*(-2)*(-3)・・・・ は、初項-1、公差-1の等差数列の並びなので、n番目は-1+(n-1)*(-1)=-1-n+1 と表せるから (-1)*(-2)*(-3)*・・・*(-1-n+1)です。 >あと最後の項にxが残るのはなぜですか? あれ、関数f(x)=1/(1+x)を微分してるんでしょう。 >f(x)を1回微分したら(-1)*1^(-2) といっているところをみると、何か勘違いをしているのかもしれないですね。

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質問者からの補足

>1回微分・・(-1)*(1+x)^(-2) 問題が載っている冊子の答えを見ると (-1)(-1-1)とxが付いていません。

  • 回答No.1
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)

>f(x)を1回微分したら(-1)*1^(-2)で 定数になってしまうという意味ですか?

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質問者からの補足

定数になっていいんですよね? この場合の微分は^-1を前に下ろして^-2にして(1+x)を微分ですよね。

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