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n次導関数
f(x)=1/(1+x)のn次導関数をもとめたいんですが f^(n)(x)=(-1)(-1-1)・・・(-1-n+1)(1+x)^(-1-n) になるのがわかりません。 f(x)を1回微分したら(-1)*1^(-2)で n回微分したら^(-2-n)だと思うのですが。 あと最後の項にxが残るのはなぜですか？
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- debut
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＞n次導関数はf(x)を微分してそれをまた微分してを何度を繰り ＞返して最終的にどうなるかですよね。 まあ、そういうことです。 で、式f^(n)(x)=・・・は１回微分からｎ回微分をかけているわけではないです。 順々にかけていってるのは関数部分(1+x)^(・・)にかける数です。 ＞(-1)(-1-1)とxが付いていません。 それは、２回目の微分で関数部分にかける数だけを言っているのであって、f^(2)(x)=(-1)(-1-1)(1+x)^(-1-1-1)とｘは出てきます。 (-1)(-1-1) というところは２回微分したということをさしているわけではなくて、微分を２回目でやめたとすると、関数部分にかける数は(-1)(-1-1)になる、ということです。 (-1)(-1-1)(-1-1-1) ならば微分を３回目でやめたとすると、関数部分にかける数は(-1)(-1-1)(-1-1-1)になる、ということです。 すると、ｎ回の微分でやめれば関数部分にかける数は (-1)(-1-1)(-1-1-1)・・・・・(-1-n+1)になって、関数部分は(1+x)^(-1-n)となるから、 f^(n)(x)={(-1)(-1-1)(-1-1-1)・・・・・(-1-n+1)}(1+x)^(-1-n)という形になる、ということです。 わかりにくかったらすみません。
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- nettiw
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f^(0)=[(1+x)^(-1)] f^(1)=(-1)[(1+x)^(-2)] f^(2)=(-1)(-2)[(1+x)^(-3)] f^(3)=(-1)(-2)(-3)[(1+x)^(-4)] f^(4)=(-1)(-2)(-3)(-4)[(1+x)^(-5)] f^(5)=(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)[(1+x)^(-6)] ・・・ ・・・ f^(n)=(-1)(-2)(-3)・・・(-n)[(1+x)^(-n-1)] =(n!)・[(-1)^n]・[(1+x)^(-n-1)] 係数は(-1)から始まって(-n)で終わっています。 係数の絶対値は、ｎ！です。 符号は、奇数次導関数では負、偶数次導関数で正ですから、[(-1)^n]です。 (1+x)の次数は、 ５ → （５＋１） → －（５＋１） ｎ → （ｎ＋１） → －（ｎ＋１）＝－ｎ－１ となります。 納得できるまで、書いて見るのが良さそうです。
質問者からの補足
新たな疑問が生まれてしまいました。 n次導関数はf(x)を微分してそれをまた微分してを何度を繰り返して 最終的にどうなるかですよね。 それなら1回微分からn回微分までどうして掛け算するのでしょうか？ 根本的な話になってすみません。
- 回答No.2
- debut
- ベストアンサー率56% (913/1604)
何回か書いてみれば はじめ・・・(1+x)^(-1) １回微分・・(-1)*(1+x)^(-2) ２回微分・・(-1)*(-2)*(1+x)^(-3) ３回微分・・(-1)*(-2)*(-3)*(1+x)^(-4) ４回微分・・(-1)*(-2)*(-3)*(-4)*(1+x)^(-5) ・・・・ ０回で－１乗＝(－１－０)乗 １回で－２乗＝(－１－１)乗 ２回で－３乗＝(－１－２)乗 ３回で－４乗＝(－１－３)乗 となっているから、 ｎ回で (－１－ｎ)乗です。。 あと、係数は (-1)*(-2)*(-3)・・・・ は、初項-1、公差-1の等差数列の並びなので、ｎ番目は-1+(n-1)*(-1)=-1-n+1 と表せるから (-1)*(-2)*(-3)*・・・*(-1-n+1)です。 ＞あと最後の項にxが残るのはなぜですか？ あれ、関数f(x)=1/(1+x)を微分してるんでしょう。 ＞f(x)を1回微分したら(-1)*1^(-2) といっているところをみると、何か勘違いをしているのかもしれないですね。
質問者からの補足
>１回微分・・(-1)*(1+x)^(-2) 問題が載っている冊子の答えを見ると (-1)(-1-1)とxが付いていません。
- 回答No.1
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>f(x)を1回微分したら(-1)*1^(-2)で 定数になってしまうという意味ですか？
質問者からの補足
定数になっていいんですよね？ この場合の微分は^-1を前に下ろして^-2にして(1+x)を微分ですよね。
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質問者からのお礼
すごくわかりやすいです。 本当にどうもありがとうございました。