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n次導関数
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1階ずつ微分するたびに三角関数の合成を行っていけば、規則性が見いだせますよ。 元の関数:f(x)=exp(x)sin(x) 1階微分:f(1)(x)=exp(x){sin(x)+cos(x)}=√2exp(x)sin(x+π/4) 2階微分:f(2)(x)=√2exp(x){sin(x+π/4)+cos((x+π/4)}=(√2)^2 exp(x)sin(x+2π/4) 3回微分:f(3)(x)=(√2)^2 exp(x){sin(x+2π/4)+cos(x+2π/4)}=(√2)^3 exp(x)sin(x+3π/4) ここまでやればお分かりだと思いますが、ここからn階の微分は次のようになると予想されます。 n階微分:f(n)(x)=(√2)^n exp(x)sin(x+nπ/4) あとは、これが正しいことを帰納的に証明すればOKでしょう。 f(x)のn階微分がf(n)(x)=(√2)^n exp(x)sin(x+nπ/4)だとすると、n+1階微分は、 f(n+1)(x)=(√2)^n exp(x){sin(x+nπ/4)+cos(x+nπ/4)} =(√2)^(n+1) exp(x)sin{x+(n+1)π/4} となり、これはn階微分の式でnをn+1に置き換えたものと同じになり、f(1)(x)でも(f(0)(x)でもですが)成り立っているので、これで示せたことになると思います。
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- zk43
- ベストアンサー率53% (253/470)
1回微分すると e^xsinx+e^xcosx=√2e^xsin(x+π/4) 2回微分すると √2(e^xsin(x+π/4)+e^xcos(x+π/4)) =(√2)^2e^xsin(x+2π/4) 3回微分すると (√2)^2(e^xsin(x+2π/4)+e^xcos(x+2π/4)) =(√2)^3e^xsin(x+3π/4) (加法定理はご存知ですか) ・・・ n回微分すると (√2)^ne^xsin(x+nπ/4) 正確な証明を書くには、数学的帰納法により・・・ と書くのでしょう。
お礼
ありがとうございます。助かりました。
- ONB
- ベストアンサー率38% (8/21)
>微分を繰り返しっても規則性がつかめません 何回微分まで計算しましたか? 少なくとも4回微分、それでも規則性に気づかなければ8回微分くらいまで計算してみてください。
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