- 締切済み
ライプニッツの公式を用いた問題
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
みんなの回答
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4372848.html とダブル投稿ですね。 上記の質問のA#2に解答を書いておきました。 そこでの回答とダブりますが。 1. Ans.0 解答どおりで○。 2. > Ans.f^(n+2)(0)+n(n-2)f^(n)(0)=0 間違い。 前の質問で回答済みで f^(n+2)(0)=0 (n:偶数,n≧0) f^(n+2)(0)=n^2*...*7^2*5^2*3^2*f'(0)={(n-2)!!}^2f'(0)(n:奇数,n≧1) 3. 前の質問で回答済みで f^(n)(0)=0(n=2m,m≧1) f^(n)(0)={(2m-1)(2m-3)*...*3)}^2 ={(n-2)!!}^2 ((n=2m+1,m≧1) なお、k!!は二重階乗です。 http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?path=08000000%2e%93%c1%8e%ea%8a%d6%90%94%2f07000300%2e%93%f1%8fd%8aK%8f%e6%2f10000200%2e%93%f1%8fd%8aK%8f%e6%81i%95%5c%81j%2fdefault%2exml (2k-1)!!=Π[i=1,k] (2i-1) (2k)!!=Π[i=1.k] (2i) Π[i=1,m] i =m! Πは積を表す記号です。
- R_Earl
- ベストアンサー率55% (473/849)
ANo.1ですが、訂正です。 > a_(n+1) = n(a_n)という漸化式の一般項は、階乗の形になります。 > 特にa_1 = 1の場合、a_n = n!です。 正しくはこうです。 a_(n+1) = n(a_n)という漸化式の一般項は、階乗の形になります。 特にa_1 = 1の場合、a_n = (n - 1)!です。 失礼しました。
- R_Earl
- ベストアンサー率55% (473/849)
> Ans.f^(n+2)(0)+n(n-2)f^(n)(0)=0 (ライプニッツの公式使いました。) 私はf^(n+2)(0) - (n^2)f^(n)(0)=0となりました。 (1 - x^2)f''(x)のn階微分が (1 - x^2)f^(n+2)(x) - 2nxf^(n+1)(x) - (n^2 - n)f^(n)(x) =(1 - x^2)f^(n+2)(x) - 2nxf^(n+1)(x) - (n^2)f^(n)(x) + nf^(n)(x) xf'(x)のn階微分が xf^(n+1)(x) + nf^(n)(x) となったので、引き算するとnf^(n)(x)が消えると思います。 > 3.f^(n)(0)を求めよ。 片方を右辺に移項して、f^(n+2)(0) = (n^2)f^(n)(0) f^(n)(0) = a_nと考えれば(a_nは数列)、この等式は a_(n+2) = (n^2)a_n という漸化式です。 a_(n+1) = n(a_n)という漸化式の一般項は、階乗の形になります。 特にa_1 = 1の場合、a_n = n!です。 それを利用すれば、a_(n+2) = (n^2)a_nという漸化式の一般項も求められるはずです。
関連するQ&A
- ライプニッツの公式を用いる問題がわかりません
教えていただきたいです。お願いします。 f(x)=Sin^-1とおく。 1.(1-x^2)f"(x)-xf'(x)を計算せよ。 2.1で求めた結果の等式の両辺をn回微分したのちx=0とすることによって、f^(n+2)(0)とf^(0)との間に成立する関係を答えよ。 3.f^(n)(0)を求めよ。
- 締切済み
- 数学・算数
- ライプニッツの公式について。
例えば、 y(x^3+1) = 1 という式を、ライプニッツの公式を用いてn回微分すると…という記述があるのですが、これは左辺の右の()が3回までしか微分できないのだから、3回までしかライプニッツの公式は適用できないのではないでしょうか…? 問題集の記述だと、yをn回微分するところから始まり、やはり(x^3+1)が6となるまで微分していくのですが、微分の回数を表すnやnC2などのような「n」をつけるのは、おかしくないでしょうか?3回までしか適用できないのだから、n=3としか書けないと思うのですが…。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ライプニッツの公式を使った問題
y=x^2・e^-3x のn階導関数をライプニッツの公式をつかって求める問題についてなのですが、 ライプニッツの公式の[n]Σ[r=0]nCk*f^(n-k)*g^(k)を使って、解答は y^(n)=(-3)^n-2{9x^2-6nx+n(n-1)}e^-3xとなります。 ですがこれってk=0,1,2までしか足していません。なぜk=0,1,2までなのでしょうか?k=0,1 若しくはk=0,1,2,3まで足してしまっては不正解ですか? それともキリがないからたまたま2までで区切っただけでしょうか? kをいくらまで増やして足せばいいかわかりません。 ご教授お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ライプニッツの公式 導関数
fn(x)=x^n*logx fn(x)のn+1階導関数を求める問題で ライプニッツの公式を使うためのx^nの導関数を求めるのはわかります。 場合分けするのも分かりますが、 t≦nのとき n!x^n-tではない理由がよくわかりません。 あとライプニッツの公式を使う際どちらの関数をf,gとおくか迷います。 判断基準はありますか? 画像3行目 x^nのt階導関数です。 4行目x^-1 ですがx^n-tです。 間違えました
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の微分 ライプニッツの定理の利用でとけるはずなのですが…。
===================================================== 【問題】 y=f(x)=sin(α arcsin x) f^(n) (0)を求めよ。 ↑ f(0)をn回微分したもの ======================================================== 行き詰ってしまいました。私の回答を載せさせてもらいますので、ご指摘や模範解答のほう宜しくお願いします。 =========================================================== 【自分の回答】 y'=1 / √(1- α^2 * sin^-2 x)=(sin x)/ √(sin^2 x - α^2) ∴y'*√(sin^2 x - α^2)/(sin x)=1 両辺をxについて微分し両辺√(sin^2 x - α^2)を掛けて整理すると、 y"*sin x +y'*α^2 * (cos x) / (sin x) =0 ⇒(1/α^2)* y" *(sin^2 x) /(cos x)+ y'=0 **************************************************** ここでライプニッツの定理や数学的帰納法を使って計算していくのですが、 f'(0),f"(0),f^(3) (0),..........といった感じに出来ません。 **************************************************** ===========================================================
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 合成関数のn回微分の公式?
実関数の微分に対して、ライプニッツの公式は、 (fg)^(n)=Σ[k=0,n]C(n,k)f^(k)*g^(n-k) です。 ところで、合成関数のn回微分の公式って考えれないのでしょうか? 一般化は難しそうなのでたとえば、 y=f(x)^a のn回微分を書き表す方法はあるのでしょうか? ライプニッツの公式は、係数に二項係数が使われましたが、合成関数のn回微分には、なんらかの数列が関係していたりするのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分に関する証明問題がわからなくて困っております。
微分に関する証明問題がわからなくて困っております。 g(x)を整数係数の多項式とする n≧1を与えられた自然数としてf(x)=x^n*g(x)とする。 このとき、すべてのk=0,1,2...に対して、 d^k/dx^k(f(0))は、n!の倍数になることを示せ。 ライプニッツの公式あたりを用いるのでしょうか? 鉛筆が止まってしまって困っているので是非回答をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数