数学の答え合わせをお願いしたいです！

質問

詳しい方よければ教えてください＞＜*

（１）
r>0とする
Σ[1,∞] { e^(-nx) / (n+1) } はx∈[r,∞) に関し一様収束することを示せ。

（２）
極限値lim[r→+0] ∫[r,1/r] Σ[n=1,∞] { e^(-nx) / (r+1) } dxを求めよ。

(１)
∃L∈N , L≦k<lとなる任意の番号k,lをとり、ε=e^(-rl)とする。
| (e^(-(k+1)x)) / (k+1) + (e^(-(k+2)x)) / (k+2) +・・+ (e^(-lx)) / (l+1) |
≦ | (e^(-lx)) / l + (e^(-lx)) / l +・・+ (e^(-lx)) / l |
≦ |((l-k)e^(-lk)) / l |
≦ e^(-lx)
≦ e^(-rl)
= ε
よって題意は示された。

(2)
lim[r→+0]∫[r→1/r] Σ[n=1,∞] (e^(-nx)) / (r+1) dx = Σ[n=1,∞] lim[r→+0]∫[r→1/r] (e^(-nx)) / (r+1) dx = Σ[n=1,∞] ∫[0,∞] e^(-nx) dx = Σ[n=1,∞] [-(e^(-nx))/n][x=0,∞] = Σ[n=1,∞] 1/n = ∞

回答No.2

muturajcp

(1)
n∈N=(全自然数)
{r,x}⊂R=(全実数)
0<r≦x
S(n,x)=Σ_{k=1～n}{e^{-kx}/(k+1)}
とすると
S(n+1,x)-S(n,x)=e^{-nx}/(n+1)>0
S(n,x)
=Σ_{k=1～n}{e^{-kx}/(k+1)}
<Σ_{k=1～n}1/{k(k+1)x}
=Σ_{k=1～n}[(1/k)-{1/(k+1)}](1/x)
=[1-{1/(n+1)}](1/x)
<1/x
↓
S(n,x)<S(n+1,x)<1/x
↓
{S(n,x)}は上に有界な単調増加列だから収束するからそれを
S(x)=lim_{n→∞}S(n,x)=Σ_{n=1～∞}{e^{-nx}/(n+1)}
とすると
∀x≧r>0
∀ε>0に対して
→∃n_x>0(∀n>n_x→|S(n,x)-S(x)|<ε/2)
δ=εr/2
L=max(2/ε,r)
[L/δ]=(L/δの整数部分)
m=2+[L/δ]
{a_j=r+(j-1)δ}_{j=1～m}とすると
↓
∃n_0=max_{j=1～m}{n_{a_j}}
,
∀n>n_0に対して→|S(n,a_j)-S(a_j)|<ε/2
x≧r
x≦Lのとき
|x-a_j|<δとなるa_jがある
a_j=x+hとすると
|S(n,x)-S(n,a_j)|
=|S(n,x)-S(n,x+h)|
=|Σ_{k=1～n}(e^{-kx}-e^{-k(x+h)})/(k+1)|
=|Σ_{k=1～n}e^{-kx}(1-e^{-kh})/(k+1)|
≦|h|Σ_{k=1～n}|e^{-kx}|
≦|h|/(e^x-1)
≦|h|/(e^r-1)
<δ/r=ε/2
∴
|S(n,x)-S(a_j)|≦|S(n,x)-S(n,a_j)|+|S(n,a_j)-S(a_j)|<ε

L<xのとき
L<a_mだから
|S(n,x)-S(n,a_m)|<1/min(x,a_m)<1/L≦ε/2
|S(n,x)-S(a_m)|≦|S(n,x)-S(n,a_m)|+|S(n,a_m)-S(a_m)|<ε
∴
S(n,x)=Σ_{k=1～n}{e^{-kx}/(k+1)}
はx≧rで一様収束する

(2)
S(n,x)=Σ_{k=1～n}{e^{-kx}/(k+1)}
S(x)=Σ_{n=1～∞}{e^{-nx}/(n+1)}
lim_{r→+0}∫_{r,1/r}S(x)dx
∀ε>0
→∃δ>0
0<r<δ→|e^{-kr}-e^{-k/r}-1|<ε/2
→∃n_0>2/ε
n>n_0→|S(n,x)-S(x)|<rε/{2(1-r^2)}
↓
∫_{r,1/r}|S(x)-S(n,x)|dx
<{(1/r)-r}rε/{2(1-r^2)}
=ε/2

∫_{r,1/r}S(n,x)dx
=∫_{r,1/r}Σ_{k=1～n}{e^{-kx}/(k+1)}dx
=Σ_{k=1～n}[∫_{r,1/r}e^{-kx}dx]/(k+1)
=Σ_{k=1～n}[-e^{-kx}/k]_{r,1/r}/(k+1)
=Σ_{k=1～n}(e^{-kr}-e^{-k/r})/{k(k+1)}
=Σ_{k=1～n}(e^{-kr}-e^{-k/r})[(1/k)-{1/(k+1)}]

|∫_{r,1/r}S(n,x)dx-1|
=|Σ_{k=1～n}(e^{-kr}-e^{-k/r}-1)[(1/k)-{1/(k+1)}]-{1/(n+1)}|
<|ε[1-{1/(n+1)}]-{1/(n+1)}|
<1/n_0<ε/2

|∫_{r,1/r}S(x)dx-1|
≦∫_{r,1/r}|S(x)-S(n,x)|dx+|∫_{r,1/r}S(n,x)dx-1|
<ε
∴
lim_{r→+0}∫_{r,1/r}Σ_{n=1～∞}{e^{-nx}/(n+1)}dx=1

回答No.1

OurSQL

あなたが書いた内容に間違いが1箇所もないなら、正解のはず。