6-20 高校数学の確率

質問

ある電話局管内の電話の通話時間(分)は確率変数Xで表され、その確率密度関数f(x)は

f(x)=ae^(-x/3) (0<=x<180)

0 (x>=180)

である　一方通話料は3(n-1)<=x<3n(nは自然数)の通話時間に対して10n円である

(1)定数aの値を求めよ
(2)1回の通話時間の平均値を求めよ
(3)1回の通話料の平均値を求めよ

解説　(1)P(0<=X<180)=∫[0→180]ae^(-x/3)dx=a[-3e^(x/3)](0→180)

=-3a(e^(-60)-1)これが１であるからa=1/3(1-e^(-60))

(2) E(X)=∫[0→180]xae^(-x/3)dx=a[x(-3e^(-x/3)](0→180)+3∫[0→180]ae^(-x/3)dx=-540ae^(-60)+3・1
=3(1-61e^(-60))/(1-e^(-60)) (≒3)

(3)通話料が10n円である確率は∫[3(n-1)→3n]ae^(-x/3)dx=-3a(e^(-n)-e^-(n-1)

よって通話料の平均値は
Σ[n=1→60]10n・3a(e^(-n+1)-e^(-n))

=30a(Σ[n=0→59](n+1)e^(-n)-Σ[n=1→60]ne^(-n))

=30a(1-60e^(-60)+Σ[n=1→59]e^(-n))

=・・=10e/(e-1)-600/(e^(60)-1) (≒16)

となっていたのですが

解説にP(s<=X<=t)=∫[s→t]f(x)dxとありますが、この式始めてみたのですが、これって確率に定義域みたいなのがある時は積分すれば全部求まるって意味ですか？

(1)で確率密度関数f(x)とありますが、これは何のことなのですか？確率に定義域とかあって何を意味しているのか良く分かりません、又これを求めようとしてP(0<=X<=180)=-3a(e^(-60)-1)まで求めてこれが1になるとあるのですが、1になるというのはどこに書いてあるんですか？何で1になるのか分からないです

(2)は1回の通話時間の平均値がE(X)=∫[0→180]x・ae^(-x/3)dxで求めているのですが、何故1回の通話時間の平均値がこの式で出ることになるのか分からないです

(3)は通話料の平均値が10n円である確率が∫[3(n-1)→3n]ae^(-x/3)dxで出しているのですが
この式で通話料の平均値が10n円である確率が求まるのが何故なのか分からないです

その下の平均値もΣ[k=1→60]10n・3a(e^(-n+1)-e^(-n))で求まるのが何故なのか分からないです

回答No.1

kittensillabub · ベストアンサー

数学的に正確な表現はできませんが感覚的に答えます。

確率なので、サイコロを投げてどの目が出るか、と同じように考えればいいです。
(1)
サイコロの場合は[いずれかの目が出る]、という事象ですが、今回は電話の[一回の通話時間]という事象です。
サイコロの場合は６つだけの不連続な事象ですが、電話の場合通話時間は連続です。
事象が連続(という表現が正しいかどうか不明ですが)なので確率”分布”関数というのだと思います。

確率は発生するすべての事象の合計を 1としてその発生する割合なので、全部足す=積分すると1です。

(2)
サイコロの出る目の平均は　出た目の値と、 目の出る確率の積を 全部合計なので、
通話時間の平均は　通話時間 x と、その発生確率 f(x) の積を、全部合計なので、件の式になります。

(3)
「通話料の平均値が10n円である確率」ではなく、「通話料が10n円になる確率」が必要です。
「通話料が10n円になる確率」は、「通話料が 10n円である通話時間」を全部合計(積分)すればOk。
通話料の平均値は、「通話料が10n円になる確率」と 10n円の積を、発生する事象分合計すればいいです。

こんな感じです。

お礼

御返答有難うございます

補足

通話料が10n円の時の通話時間は3(n-1)分から3n分で通話時間が3(n-1)分から3n分までの確率を∫[3(n-1)→3n]ae^(-x/3)dxで求めているのですが、3(n-1)から3(n)が0分から180分の間に入っているかどうか分からないので∫[3(n-1)→3n]ae^(-x/3)dxだけで求めるのはおかしいと思うのですが、だって3(n-1)分から3n分の間に180分を上回っている部分があればその部分は0ですよね？