微分積分、および極限の問題です。

質問

問題が書いてある画像を添付しています。
微積の問題なのですが、(4)が分かりません。。

今までの解いた流れとしては、下記のようになってます。

(1)fn(x)については帰納法で、
fn(x) = e^(-x)+e^(-2x)+e^(-3x)+...+e^(-nx)
となったので、Fn(x)=Σ(k=1,n) 1/k となりました。

(2)∫(1,n) e^(-xy)dy = (-1/n)e^(-nx) + e^(-x)
となることから、両辺をxで微分して(-1)倍すると、
-∫(1,n) xe^(-xy)dy = e^(-x) - e^(-nx)
これをgn(x)に代入してから問題の積分を解くと、答えは
Gn(x) = 1-1/n^2 となりました。

(3)Fn - Gn = (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) - (1 - 1/n^2)
なので、明らかに正としました。

(4)極限ですが、これは調和級数の最初の1がなくて最後に+1/n^2がついているものなので
無限大に発散すると思ったのですが、それだと問題と合わないため解けないでいます。
もしかすると(1),(2)のどこかで違ったのでしょうか・・？

どなたか、ご教授お願いいたします。。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

(2)の計算が間違っている・・・！
Gn = logn (logの底は自然対数)となる。
・・・・なので(3)以降も考え直す必要がある。
(4)はFn－Gn = γ (n→∞)(γ:オイラー常数)に収束する。

補足

ありがとうございます。
すみませんが、(2)がなぜlognになるのか分かりません…。
どのように計算されたのでしょうか？

それと、lognとなると(3)も(4)もちょっと自分には分からないので、
オイラー常数をちょっとぐぐってきます。