極限の証明

質問

I　x>0で、任意の自然数nに対し
　　　e^x ＞ Σ（x^k/k!） (Σはk=0～ｎ)
　　が成り立つことを示せ。
II　任意の自然数nに対し、x→＋∞のとき
　　　lim（x^n/e^x）=0
　　が成り立つことを示せ。

Iは帰納法で証明しようと思うのですが、
x=1のとき、e>Σ(1/k!)
x=nのとき成り立つと仮定するとe^n＞ Σ（n^k/k!）
ここで行き詰ってます。全然ですが何かアドバイスください。
IIははさみうちで　？<x^n/e^x<？　→0という感じでしょうか？
?の部分がわからないのでこちらについても何かお願いします。

回答No.3

mazoo · ベストアンサー

質問者さんは混乱されてますね。
質問者さんの帰納法では、e^x>Σ（x^k/k!） (Σはk=0～ｎ)
のxが自然数の時でしか証明したことになりませんよ。
帰納法を使うのであれば、
e^x ＞ Σ（x^k/k!） (Σはk=0～ｎ)
おいて、n=0の時に成り立つことを示して、
n=Nの時成り立つと仮定して、n=N+1の時を証明します。
n=0の時は自明。(x>0でe^x>1ですから)
n=Nの時成り立つと仮定して、
f(x)=e^x-Σ(x^k/k!） (Σはk=0～N+1)
がx>0でf(x)>0になることを示せばいいです。
f(0)=0で、f(x)の微分を計算すれば、、、

IIはIから　e^x>x^(n+1)/(n+1)!です。
これを変形すれば簡単にわかります。

補足

回答ありがとうございます。おっしゃるように混乱しています。。
mazooさんの回答のおかげで確かにnについての証明が必要ということがわかりました。しかし、nは自然数なのにn=0の証明も必要なのですか?
n=Nに関してはf'(x)=e^x-Σx^k/k!＞0 (Σはk=0～N)ということで成り立つことが証明されますね。
IIはe^x>x^(n+1)/(n+1)!だから、
　?　＜　x^n/e^x　＜ x^n/{x^(n+1)/(n+1)!}
x→＋∞のとき　x^n/{x^(n+1)/(n+1)!}=0　ただ、?の部分がわかりません。
申し訳ありませんがもう一度アドバイスをいただけませんか？お願いします。

回答No.7

mazoo

考えすぎですよ。
e^x > x^(n+1)/(n+1)!
から
0 < x^n/e^x < (n+1)!/x
左辺→0 (x→∞) (ずっと0だから自明)
右辺→0 (x→∞)

よって任意のnでx^n/e^x → 0 (x→∞)

お礼

なるほど、そういうことだったんですか。これなら確かに成り立ちますね。
全然気付きませんでした。ありがとうございます。

回答No.6

KappNets

IIの解法ですが、y=x^n/e^x とおきますと、ln(y)=n*ln(x)-x となります。x を無限大に持っていくと右辺は負の無限大になります。つまりyはゼロに近づきます。

回答No.5

mazoo

自然数に0を含めるかどうかは定義によって違うので議論しませんが。
n=0の時の証明と、n=1の時の証明を考えてみると、n=0の時の方が簡単ですよね？（どちらも大差ないですが）
だからn=0から始めました。（自然数に0が含まれないのなら、無駄にn=0の時を証明したことになっていますが、帰納法の証明を書く際は楽だと思います。ちゃんと問題の解答にもなっていますし。）
n=1の証明から始めてもぜんぜんかまわないと思います。

IIのはさみうちの左辺の?ですが、#3の方もおっしゃっているように自明です。少し頭をやわらかくして考えてみてください。
（ヒント：x>0のとき、x^n/e^xが負になることはありますか？）

補足

回答ありがとうございます。
n=0のときとn=1についての違いがわかりました。解説していただきありがとうございました。
IIについては、ヒントよりx>0のとき、x^n/e^x>0ですから負であるものを見つければいいのですよね？
#4さんの回答の補足にも書きましたが
x^n/?　＜　x^n/e^x　＜ x^n/Σ{x^k/k!} ＜ x^n/{x^(n+1)/(n+1)!}
で止まってしまいます。なかなか気付くことができないでいます。

回答No.4

Tacosan

#2 です.
「n は自然数」となってますが, 自然数に 0 を含めるか含めないかはしばしば議論になります. この場合, n=0 でも成り立つので含めた方がいいような気がします.
で II の方は, 最右辺が 0 に収束するんだから, 最左辺も同じく 0 に収束する (かつ x^n / e^x より小さい) ものをもってくることになります. 自明なものが 1つあるんですが, 気付きますか?

補足

回答ありがとうございます。
n=0の証明について納得しました。ありがとうございました。
IIの最左辺については、自明なものということなのですが…
x^n/?　＜　x^n/e^x　＜ x^n/Σ{x^k/k!} ＜ x^n/{x^(n+1)/(n+1)!}
という大小関係までしかわからないのです。

回答No.2

Tacosan

ん, I は e^x をどう定義するかとか, 微分していいかとかが問題になるかなぁ.
II は I を使って, e^x を「x^n より真に大きな x の多項式」で置き換えれば OK.

回答No.1

KappNets

Iは e^x = sum(x^k/k!) [k=0 to 無限大] なのだから、和をとることを途中でやめた sum(x^k/k!) [k=0 to n] より大きいことは自明に思いますが。証明法となるともう少し工夫がいるのかな。
IIは成り立ちません。適当な数を入れて Excel で試してみて下さい。