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数III 微分

f(x)=√(x+1)のとき,g(x)=f(f(x))のx=0における微分係数を求めよ 全く分かりません(´`;) 微分係数だから極限値を使えばいいのでしょうか? 誰か分かる方教えてください(..)m

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  • 回答No.4
  • inara
  • ベストアンサー率72% (293/404)

g(x) = f { f(x) } のとき、合成関数の微分の公式から、g'(x) = f ' { f(x) } * f ' (x) です。 f(x) = √(x+1) = ( x + 1 )^(1/2) ですから f ' (x) = 1/2* ( x + 1 )^(-1/2) = 1/2/√( x +1 ) f ' { f(x) } = 1/2/√{ f(x) +1 } = 1/2/√{ √(x+1) +1 } となります。したがって f ' (0) = 1/2/√( 0 +1 ) = 1/2 f ' { f(0) } = 1/2/√{ √(1) +1 } = 1/( 2*√2) だから g'(0) = f ' { f(0) } * f ' (0) = 1/2/( 2*√2) = 1/(4*√2) = (√2)/8

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質問者からのお礼

詳しくありがとうございます! ちょうど授業であたってて困っていたので本当に助かりました!

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  • 回答No.8
  • hugen
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g(x)=f(f(x))  より g '(x)=f '[f(x)]f '(x)  g '(0)=f '[f(0)]f '(0) f(0)=√(0+1)=1 を代入すると g '(0)=f '(1)f '(0) f(x)=√(x+1)=(x+1)^(1/2) より  f '(x)=(1/2)(x+1)^(-1/2)=1/{2√(x+1)}  f '(1)=1/{2√(1+1)}=1/(2√2)=(1/4)√2  f '(0)=1/{2√(0+1)}=1/2 だから g '(0)=f '(1)f '(0)=(1/4)(√2)・1/2=(√2)/8 

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質問者からのお礼

合成関数の公式を使ったら すんなりできて感動しました!^^* 丁寧にありがとう御座います!

  • 回答No.7
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

#5です。 計算ミスがありましたので訂正します。 >X=Y+1 >dX/dx={d(Y+1)/dY}(dY/dx)=Y*Y'={(x+1)^(1/2)}Y' dX/dx=Y' と訂正。 >後は下の式を順に上の式に代入していけば g'(x)が求まりますよ。 g'(x)=[d{X^(1/2)}/dX](dX/dx)={(1/2)X^(-1/2)}(dX/dx) ={(1/2)X^(-1/2)}Y' ={(1/2){√(x+1)+1}^(-1/2)}(1/2)(x+1)^(-1/2) =(1/4)/[√{√(x+1)+1}√(x+1)] // x=0における微係数 g'(0)=(1/4)/(√2)=(√2)/8 //

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質問者からのお礼

訂正ありがとうございます!

  • 回答No.6
  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)

No2のかたの補足欄に書かれた、 >g(x)=(x+1)^1/4+1になったのですが について。 これは、g(x)=√{√(x+1)+1}から作ったわけです よね? このようにして簡単にしたいのはやまやまですが、 √(1/2乗)を振り分けることはできません。 たとえば、√(4+1)を√4+√1とできないことと 同じです。ちょっとした勘違いだと思います。

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質問者からのお礼

....! そうですよね!全部に√がかかってたんだから わけられませんよねぇ・・・; ありがとうございます! すっきりしました

  • 回答No.5
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

>√√の微分の仕方が分かりません;; 順番にステップを踏んで微分をしていけば良いです。 g(x)=√{√(x+1)+1} X={√(x+1)+1}とおけば g(x)=X^(1/2) g'(x)=[d{X^(1/2)}/dX](dX/dx)={(1/2)X^(-1/2)}(dX/dx) Y=√(x+1)=(x+1)^(1/2)とおけば X=Y+1 dX/dx={d(Y+1)/dY}(dY/dx)=Y*Y'={(x+1)^(1/2)}Y' Y'={(x+1)^(1/2)}'=(1/2)(x+1)^(-1/2) 後は下の式を順に上の式に代入していけば g'(x)が求まりますよ。

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質問者からのお礼

√√の場合 1つづつすればいいんですね~! 有難う御座いました

  • 回答No.3
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

g(x) = √(f(x)+1) = √(√(x+1) + 1) までは分かりますか? 微分係数というのは、微分した式の、あるxにおける値のことです。 つまり、「x=0における傾きを求めよ」ということです。 上記のg(x)を微分して、その後xに0を代入すればよいです。

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質問者からのお礼

ありがとうございます! √√の微分の仕方が分かりません;; 上にも書いたとおり、√を分数の指数にすればいいんでしょうか?

  • 回答No.2
  • imopro
  • ベストアンサー率35% (58/163)

訂正です. > 「g'(x)を求めよ」と同じ事です. 「g'(0)を求めよ」と同じ事です. ですね.g'(x)はg(x)を微分したものです.

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質問者からのお礼

ありがとうございます! g(x)=√{√(x+1)+1}になりますか? √√の微分の仕方が分かりません;; g(x)=(x+1)^1/4+1 になったのですがどこかおかしいでしょうか? 

  • 回答No.1
  • imopro
  • ベストアンサー率35% (58/163)

「g'(x)を求めよ」と同じ事です. 単に合成関数の微分をすればいいだけなので,その単元を復習すればすぐにできます.

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