数III 微分

質問

f(x)=√(x+1)のとき,g(x)=f(f(x))のx=0における微分係数を求めよ

全く分かりません(´｀;)
微分係数だから極限値を使えばいいのでしょうか?
誰か分かる方教えてください(..)m

回答No.4

inara · ベストアンサー

g(x) = f { f(x) } のとき、合成関数の微分の公式から、g'(x) = f ' { f(x) } * f ' (x) です。
f(x) = √(x+1) = ( x + 1 )^(1/2) ですから

f ' (x) = 1/2* ( x + 1 )^(-1/2) = 1/2/√( x +1 )
f ' { f(x) } = 1/2/√{ f(x) +1 } = 1/2/√{ √(x+1) +1 }

となります。したがって

f ' (0) = 1/2/√( 0 +1 ) = 1/2
f ' { f(0) } = 1/2/√{ √(1) +1 } = 1/( 2*√2)

だから g'(0) = f ' { f(0) } * f ' (0) = 1/2/( 2*√2) = 1/(4*√2) = (√2)/8

お礼

詳しくありがとうございます!
ちょうど授業であたってて困っていたので本当に助かりました!

回答No.8

hugen

g(x)=f(f(x))　　より
g '(x)＝f '[f(x)]f '(x)　
g '(0)＝f '[f(0)]f '(0)
f(0)＝√(0+1)＝1　を代入すると
g '(0)＝f '(1)f '(0)
f(x)＝√(x＋1)＝(x＋1)^(1/2)　より　
f '(x)＝(1/2)(x＋1)^(-1/2)＝1/{2√(x＋1)}　
f '(1)＝1/{2√(1＋1)}＝1/(2√2)＝(1/4)√2　
f '(0)＝1/{2√(0＋1)}＝1/2　だから
g '(0)＝f '(1)f '(0)＝(1/4)(√2)・1/2＝(√2)/8

お礼

合成関数の公式を使ったら
すんなりできて感動しました!^^*
丁寧にありがとう御座います!

回答No.7

info22

#5です。
計算ミスがありましたので訂正します。
＞X=Y+1
＞dX/dx={d(Y+1)/dY}(dY/dx)=Y*Y'={(x+1)^(1/2)}Y'
dX/dx=Y'
と訂正。

＞後は下の式を順に上の式に代入していけば
g'(x)が求まりますよ。

g'(x)=[d{X^(1/2)}/dX](dX/dx)={(1/2)X^(-1/2)}(dX/dx)
={(1/2)X^(-1/2)}Y'
={(1/2){√(x+1)+1}^(-1/2)}(1/2)(x+1)^(-1/2)

=(1/4)/[√{√(x+1)+1}√(x+1)]　//

x=0における微係数
g'(0)=(1/4)/(√2)=(√2)/8　//

お礼

訂正ありがとうございます!

回答No.6

debut

No2のかたの補足欄に書かれた、
＞g(x)=(x+1)^1/4+1になったのですが
について。

これは、g(x)=√{√(x+1)+1｝から作ったわけです
よね？
このようにして簡単にしたいのはやまやまですが、
√（1/2乗）を振り分けることはできません。
たとえば、√(4+1)を√4+√1とできないことと
同じです。ちょっとした勘違いだと思います。

お礼

....!
そうですよね!全部に√がかかってたんだから
わけられませんよねぇ・・・;
ありがとうございます!
すっきりしました

回答No.5

info22

＞√√の微分の仕方が分かりません;;
順番にステップを踏んで微分をしていけば良いです。

g(x)=√{√(x+1)+1｝
X={√(x+1)+1｝とおけば

g(x)=X^(1/2)
g'(x)=[d{X^(1/2)}/dX](dX/dx)={(1/2)X^(-1/2)}(dX/dx)

Y=√(x+1)=(x+1)^(1/2)とおけば

X=Y+1

dX/dx={d(Y+1)/dY}(dY/dx)=Y*Y'={(x+1)^(1/2)}Y'

Y'={(x+1)^(1/2)}'=(1/2)(x+1)^(-1/2)

後は下の式を順に上の式に代入していけば
g'(x)が求まりますよ。

お礼

√√の場合
1つづつすればいいんですね～!
有難う御座いました

回答No.3

sanori

g(x) = √(f(x)+1) = √(√(x+1) + 1)
までは分かりますか？
微分係数というのは、微分した式の、あるｘにおける値のことです。
つまり、「ｘ＝０における傾きを求めよ」ということです。

上記のg(x)を微分して、その後ｘに０を代入すればよいです。

お礼

ありがとうございます!
√√の微分の仕方が分かりません;;
上にも書いたとおり、√を分数の指数にすればいいんでしょうか?

回答No.2

imopro

訂正です．

> 「g'(x)を求めよ」と同じ事です．
「g'(0)を求めよ」と同じ事です．

ですね．g'(x)はg(x)を微分したものです．

お礼

ありがとうございます!
g(x)=√{√(x+1)+1｝になりますか?
√√の微分の仕方が分かりません;;
g(x)=(x+1)^1/4+1
になったのですがどこかおかしいでしょうか？

回答No.1

imopro

「g'(x)を求めよ」と同じ事です．
単に合成関数の微分をすればいいだけなので，その単元を復習すればすぐにできます．