数IIIの微分法

質問

f（x）＝１/x＾3+１の逆関数f＾-１（x）のx＝１/9における微分係数をを求めよ
という問題なのですが解答のしかたをわかりやすくしていただきたいです。
ちなみに答えは-27/4です

回答No.1

spring135

f（x）＝１/x＾3+1

このような書き方は非常にいい加減である。

f（x）＝１/(x＾3+1)

か

f（x）＝(１/x＾3)+1

か判別がつかないからである。今後、厳に慎んでもらいたい。

ここでは前者と仮定して計算する。

y=f(x)のときx=f(y)をyについて解いた式y=g(x)をy=f(x)の逆関数という。

x,yが一対一対応しているので

g'(xc)=1/f'(xo)

である。ここにxc=1/9として、xoは

xc=f(xo)

を満たす値である。すなわち

1/(xo^3+1)=1/9

xo=2

g'(1/9)=1/f'(2)=1/{d[1/(x^3+1)]/dx|(x=2)}=1/{-3x^2/(x^3+1)^2|(x=2)}

=1/(-4/27)=-27/4