- ベストアンサー
微分可能かどうか
f(x)=exp(-1/x) :x>0 =0 :x<=0 でx=0で微分可能かどうか調べたいのですが 微分の定義に戻ってロピタルの定理などを使ったのですが できませんでした。 左極限が0なのはわかっています。 右極限がどうしても不定形となってしまいます。 どうすればよいでしょうかよろしくお願いします。
- hitorimi_j
- お礼率100% (5/5)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
こんばんは。 微分の定義にしたがってx=0における右方極限を求めてみます。 lim(h→+0)(f(0+h)-f(0))/h =lim(略)(exp(-1/h)-0/h） ここで見やすくするために、h=1/nとして式を書き換えます。 h→+0のとき、n→+∞ですね。 =lim(n→+∞)(n/exp(n))となります。 ここまでくれば、指数関数と整関数の発散速度の違いから、（ロピタルの定理を使ってもよいですが）0に収束することは明らかです。 より厳密に証明したければ、二項定理を用いて 2^n=(1+1)^n =nCo+nC1+nC2+...... >nC2=n(n-1)/2 これを使うと、ネイピア数e>2より 0 < n/exp(n) < n/2^n ・・・（＊） < n/(n(n-1)/2)=2/(n-1) はさみうちの原理によりnが+∞に向かうとき、＊が0になることが証明されます。 以上より、微分可能だということがわかりましたね。
関連するQ&A
- 閉区間の微分可能って？
初歩的な質問ですいません。過去カテを覗いては見たのですが、 しっくりと分からないので質問します。 関数f(x)がx=aで微分可能というのは、左極限と右極限が一致する場合だと思うのですが、閉区間[a,b]で微分可能という時の端点aやbでは どうなっているのでしょうか。平均値やロールの定理のときに [a,b]で連続、(a,b)で微分可能というのは分かるのですが、 [a,b]で連続、[a,b]で微分可能と書いてあるときの端点a,bでは、上の定義が成り立たないような気がするのですが…。単純にわたしの定義の仕方がおかしいのでしょうか。どうかよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限の問題について質問です
極限の問題について質問です 教科書のロピタルの定理のセクションに載っていた問題です。 lim[x→0] ((1+x)^(1/x)-e)/x という極限を求めるのですが、答えは-e/2で、いくつかの参考書で確認しました。 しかし、どれも答えだけしかのっていないので、解き方がわからない状態です。 ロピタルの定理を使って分母分子を微分してみるのですが、何度ロピタルを使っても不定形になってしまい、 いつまでも答えの値がでないのです。 他になにか解き方が有るのでしょうか？ぜひ教えて下さい。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 【ロピタルの定理を用いた関数の極限について】
【ロピタルの定理を用いた関数の極限について】 次の問題でロピタルの定理をどのように用いたらいいのか分かりません ○次の関数のf'(0)を求めよ （1）f(x)=x^2log|x| (x≠0) f(x)=0 (x= 0) （2）f(x)=exp(-1/x^2) (x≠0) f(x)=0 (x= 0) 回答よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 指数関数の微分、極限
指数関数の微分、極限 答えがないので、答え合わせをしていただきたいです。 x/e^x -1の微分です。 第一次微分→e^x -1 - xe^x / (e^x -1)^2 第二次微分→xe^3x - (x+2)e^x + 4e^2x - 2e^3x / (e^x -1)^4 大変見にくくて申し訳ありません！ そして、それぞれの極限値（x→0）はどちらも0になりました。 極限値はロピタルの定理を用いたのですが、特に第二次微分の方が訳が分からなくなってきてとても自信がありません・・・ ご回答どうぞよろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素平面での微分可能ということ。
複素平面で微分可能ということは今、見ている本には以下のようになっています。 -------- ここから 定義 f(z)は領域Dで定義されているものとする。Dの点z0において lim (f(z0+dz)-f(z0))/dz （lim dz→0) なる極限が存在するとき、f(z)はz0で微分可能であるといい、この極限をf'(z0)で表し、z0におけるf(z)の微分係数という。 ------- ここまで ここで質問ですが、これだけの定義と複素平面の性質からz0で微分可能ならば微分係数が微分の方向に依存しないということを誘導して示すことは可能でしょうか。それとも微分可能という定義に含まれることになるでしょうか（定義なのだから証明する必要なし）。 １変数の実関数f(x)がx0で微分可能という場合、右から近づいても左から近づいても極限としての微分係数が同じということが要求されます。これは誘導されるものではないように思います。そう言う意味で複素平面での微分は方向に依存しないということは誘導されたりするものではないということになるでしょうか。もし、複素平面での微分が方向に依存しない、ということが定義ということであれば、そういう性質を持つものだけを取り出して考えると言う意味になるのでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分 可能 について
微分係数の定義は、 (1)f´(a)=lim[h→0]（f(a+h)-f(a)）/h これを変形すると、 lim[h→0]（f(a+h)-f(a)）=lim[h→0]h・f´(a) よって、lim[h→0]f(a+h)=f(a)となります。 x=a+hとすれば、 (2)lim[x→a]f(x)=f(a) となります。 lim[x→a]f(x)=f(a)はf(x)にaを代入している事と同じになると 思います。 ここで、問題です。 f(x)=|x|のx=0について微分可能で無い事を示す場合、 (1)式で解くと、 右極限 lim[h→+0]（|0+h|-|0|）/h＝lim[h→+0]|h|/h=1 左極限 lim[h→-0]（|0+h|-|0|）/h h=-tと置くと、t→+0となる。 lim[t→+0]（|0-t|-|0|）/-t=lim[t→+0]|t|/-t=-1 となり、lim[h→+0]（|0+h|-|0|）/h≠lim[h→-0]（|0+h|-|0|）/h なのでf(x)=|x|はx=0について微分可能でない。 (2)式で解くと、 右極限 lim[x→+0]|x|=0 左極限 lim[x→-0]|x|=0 x=-tと置くと、t→+0となる。 lim[t→+0]|-t|=0 よって、lim[x→+0]|x|=lim[x→-0]|x|となり微分可能であると成ってしまいます。 (1)式=(2)式なのに、解が異なってしまうのは何故でしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます、ようやくわかりました。 私はlim(略)(exp(-1/h)/h）でexp(-1/h)はexp(-∞）は０で分母も０ ロピタルつかってもexp(-1/h)/(1*h^2)となり何回ロピタルつかっても0/0で不定形になると思って困ってました。本当にありがとうございました。