微分積分

質問

サイエンスライブラリ理工系の数学＝２　改訂微分積分の問題でわからない事があったので質問します。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　lim x→＋0　の時 (x＾x-(sinx)＾x)/x＾3の極限値は？という問題なのですがマクローリン展開をsinxにつかってもうまく変形できないし、ロピタルの定理もうまくいかないので困っています。　
どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

endlessriver

(x＾x)(1-((sinx)/x)＾x)/x＾3と変形します。
x＾x→１
なので(1-((sinx)/x)＾x)/x＾3が解ればよい。
これは０／０の不定形なのでロピタルの定理を使うと
y=((sinx)/x)＾xの微分が解ればよい。

この両辺にlogをとり、微分します。
このとき、y→1,(sinx)/x→1を使うとyの微分の極限の
主要部(xcosx-sinx)/xがもとまり、さらにロピタルの
定理を使うと解が求まります。

お礼

解決しました。endlessriverさんありがとうございました。

補足

ご回答本当に有難うございます。(xcosx-sinx)/xがもとまり、さらにロピタルの定理を使うとのことですが、(xcosx-sinx)/xにロピタルの定理を使うと-xsinxになって与式は
x→+0 -xsinx/3x＾2の時の極限に帰着されて答えが-1/3になりますが、教科書の答えは1/6になっているので私がどこかで間違えていると思うのですが間違いを指摘して頂けないでしょうか？