微分積分に関する質問

質問

lim α√(x^2-2x+9)-β/x-2＝1
x→2

↑のでαとβを求める問題なんですけど、ロピタルの定理を使うのか、分子分母にα√(x^2-2x+9)+βをかけるのか、それとも別のものを利用するのかどうかわかりません。
何を利用するのかだけでも構いませんので教えてください。

見づらくてごめんなさい。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

ロピタルの定理を使う前に、有限値1に収束するための必要条件を求めることが先決です。
分母x-2→0(x→2)から
分子α√(x^2-2x+9)-β→3α-β=0(x→2)でなければならない（必要条件）。
3α＝β

{α√(x^2-2x+9)-β}/(x-2)＝α{√(x^2-2x+9)-3}/(x-2)

この段階で
ロピタルの定理を使うのか、分子分母に(√(x^2-2x+9)+3)をかけるのか
を考えれば良いですよ。
どちらの方法でも解けますのでやってみて下さい。

何事も先ずやってみる。ダメなら別の方法をやってみる。ということが大切です。やってみなければできないということに通じます。いろいろやってみることが実力となり経験となっていきますよ。

分子の有利化法をやってみると
αx(x-2)/[{√(x^2-2x+9)+3}(x-2)]=αx/{√(x^2-2x+9)+3}
→2α/6＝1(x→2)
α=3,β=9

ロピタルの定理を使えば
α{√(x^2-2x+9)-3}/(x-2)→α(x-1)/√(x^2-2x+9)(x→2)
→α/3(x→2)
＝1
α=3,β=9

お礼

わかりやすい回答、ありがとうございます。
今度からは、やれるだけやってみます。

回答No.2

rarara888

有限確定値に収束し、ｘ→２のとき分母→０なので、分子→０が必要条件です。ｘ→２のとき分子→３αーβ＝０となりβ＝３αが成り立ちます。このとき分子＝α√(x^2-2x+9)-β＝α(√(x^2-2x+9)-3)＝x^2-2x/(√(x^2-2x+9)+3)となります。
よって、与式＝lim αx/(√(x^2-2x+9)+3)＝α/3＝１となりα＝３となりβ＝９が成り立ちます。

逆にα＝３,β＝９のとき与式は成り立ち十分条件も満たしています。

最後の１行がないと必要条件のみしか示していないので、必ず必要です。

ロピタルの定理でも出来ますが、ルートがあって面倒なので正攻法が一番いいと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
有利化の方でやってみます。