limite について

質問

lim(x→0)(x-sinx)/x^3 はどうすれば解けるのでしょうか？分母、分子に×(1/x)をすればいいのでしょうか？

てきればロピタルの定理(よく分かりませんので)は使わずにお願いします。

回答No.7

kanemoto_s

#3,4,5です。

ryoryoryory 様　補足ありがとうございます。仰るとおりですね。
昔から、こういうお間抜けなところが私、多いんですよね。

まずlim(x→0)(sinx/x)=1の証明より
cosx<sinx/x<1　であるから
(cosx)^3<(sixx/x)^3<1
lim(x→0)(cosx)^3=1　であるので
lim(x→0)(sixx/x)^3=1　　・・・(1)
を求めておく。

lim(x→0) (x-sinx)/x^3　　・・・(2)
=lim(x→0) {3x-sin(3x)}/27x^3 ・・・xを3xと置きなおしても等価なので
=lim(x→0) {3x-3sinx+4(sinx)^3}/27x^3　・・・３倍角の公式より、
=lim(x→0) {(1/9)(x-sinx)/x^3 + (4/27)・(sinx)^3/x^3}
=(4/27){lim(x→0) (sinx)^3/x^3} + (1/9){lim(x→0) (x-sinx)/x^3}
(1)より
上式=4/27+(1/9){lim(x→0) (x-sinx)/x^3}　　・・・(3)
(2)=(3)であるから、
lim(x→0) (x-sinx)/x^3 = 4/27+(1/9){lim(x→0) (x-sinx)/x^3}
(8/9){lim(x→0) (x-sinx)/x^3} = 4/27
lim(x→0) (x-sinx)/x^3 = (9・4)/(8・27)
=1/6

が正答ではないでしょうか。

回答No.6

ryoryoryory

補足

kabemoto_sさんのは非常に面白いです。私としても勉強となります。非常に参考になりますが、ただ私としても分からない点があります。

一点
Lim(x→0)(x-sinx)/x^3
=limx/x^3-limsinx/x^3
=0-limsinx/x^3

Limx/x^3=0
このぶぶんは、0/0になると思いますし、もしかしたら、(1/x^2)/1で発散しちゃうんじゃないでしょうか。
はさみうちの原理を使えば0になるのでしょうか。恥ずかしながら、もう十年近く前ですので極限は忘れてしまいますね。

あと、lim(x→0)sin^3x/x^3=1
これは使えると思います。

回答No.5

kanemoto_s

>等価ということはわかるのですが、どうやって3xに置き換えるなど判断すればいいのでしょうか？

分母がx^3なのだから、分子に(sinx)^3を持ってきたかったから。
lim(x→0) sinx/x = 1
なら、同じく挟み込みの定理で
lim(x→0) (sinx)^3/x^3 = 1
のはずで、どうやってこの形に持っていくか考えて三角関数の定理をざっと見てみると3倍角の定理が使えそうだったので。
最初は
sinx=3sin(x/3)-4(sin(x/3))^3
を使ってみたけど、xを3倍すれば元の式の形
sinx/x^3
がもう一度出てくるのは明白だし、1に収束する部分も分かりやすいので3倍しました。

>さて、-sinx/x^3 がまた出てきたので、結果は
>初項4/27、公比1/9 の等比級数の和であるから

lim(x→0) (-sinx)/x^3 ...(1)
少し飛ばして
=lim(x→0) -sinx/x^3+(4/27)・(sinx)^3/x^3
={lim(x→0) (4/27)・(sinx)^3/x^3} + {lim(x→0) -sinx/x^3}
=4/27+(1/9) {lim(x→0) (-sinx)/x^3} ...(2)
(1)→(2)の変形を再適用して、
=4/27+(1/9)・[4/27 + (1/9) {lim(x→0) (-sinx)/x^3}
=4/27+(1/9)・(4/27) + (1/9)^2 {lim(x→0) (-sinx)/x^3}
と思ったけど、よく考えたら
(1)=(2)
lim(x→0) (-sinx)/x^3 = 4/27+(1/9) {lim(x→0) (-sinx)/x^3}
(8/9)lim(x→0) (-sinx)/x^3} = 4/27
lim(x→0) (-sinx)/x^3} = 4・9/27・8
=1/6
でしたね(^_^;)
ちょっと、間抜けでした。

回答No.4

kanemoto_s

#3です、記述ミスがあったので申し訳ないが再度回答します。

> てきればロピタルの定理(よく分かりませんので)は使わずにお願いします。

高校数学（大学受験）レベルの知識のみでやるのはかなりきついと思います。
ロピタルの定理は、答えあわせに使いますので、大学受験の方であれば必ず覚えておいてください。
まず、答えをロピタルの定理から求めておきます。
f(x)=x-sinx
g(x)=x^3
↓↓↓↓ロピタルの定理↓↓↓↓
f(x)、g(x)が共にa近傍で微分可能であるとき、
lim(x→a) f(x)/g(x) = lim(x→a) f'(x)/g'(x) ←記載ミス
↑↑↑↑ロピタルの定理↑↑↑↑
ちょっと応用して、f(x),g(x)は共に3階微分可能なので、
f'''(x)=cosx
g'''(x)=6
lim(x→0) f(x)/g(x)=lim(x→0) f'''(x)/g'''(x)
=1/6

答えが分かっているので、変形した式が合っているか時々ロピタルの定理を使って確かめながら進めていきます。
高校レベルの知識で出来ることで、とりあえず思いついたのは、

lim(x→0) (x-sinx)/x^3
=lim(x→0) (-sinx)/x^3 ・・・x/x^3→0なので
=lim(x→0) -{sin(3x)}/27x^3 ・・・xを3xと置きなおしても等価なので
=lim(x→0) {1-sin(3x)}/27x^3　　　　 ←記載ミス、この行はなしでm(_ _)m
=lim(x→0) {-3sinx+4(sinx)^3}/27x^3　　　←記載してなかったけど、３倍角の公式より、
=lim(x→0) -(1/9)sinx/x^3+(4/27)・(sinx)^3/x^3　　　　 ←(1/9)を記載漏れ
=lim(x→0) -(1/9)sinx/x^3+4/27 ・・・ lim(x→0) (sinx)^3/x^3→1 を使用 ←使ってよいか自信が無い

さて、-sinx/x^3 がまた出てきたので、結果は
初項4/27、公比1/9 の等比級数の和であるから

上式=(4/27)/(1-1/9)=1/6

さて、答えがあっているので解き方も合っているのではないかと思うのですが、
大学受験は20年前のことですしまったく自信がありません。
何かありましたら、指摘回答でもいいのでフォローをお願いします。

わざわざ問題が
-sinx/x^3
ではなくて
(x-sinx)/x^3
なのだから、最初のxがヒントでもっとスマートな解き方があるのではないかとは思うのですが、思いつきませんでした。

補足

回答ありがとうございました。返信が遅くなり申し訳ないです。2つほどお聞きしたいのですが、

>=lim(x→0) -{sin(3x)}/27x^3 ・・・xを3xと置きなおしても等価なので

等価ということはわかるのですが、どうやって3xに置き換えるなど判断すればいいのでしょうか？

>さて、-sinx/x^3 がまた出てきたので、結果は
初項4/27、公比1/9 の等比級数の和であるから

ここをもう少し詳しく教えていただいてもいいでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.3

kanemoto_s

> てきればロピタルの定理(よく分かりませんので)は使わずにお願いします。

高校数学（大学受験）レベルの知識のみでやるのはかなりきついと思います。
ロピタルの定理は、答えあわせに使いますので、大学受験の方であれば必ず覚えておいてください。
まず、答えをロピタルの定理から求めておきます。
f(x)=x-sinx
g(x)=x^3
↓↓↓↓ロピタルの定理↓↓↓↓
f(x)、g(x)が共にa近傍で微分可能であるとき、
lim(x→a) f(x)/g(x) = f'(x)/g'(x)
↑↑↑↑ロピタルの定理↑↑↑↑
ちょっと応用して、f(x),g(x)は共に3階微分可能なので、
f'''(x)=cosx
g'''(x)=6
lim(x→0) f(x)/g(x)=lim(x→0) f'''(x)/g'''(x)
=1/6

答えが分かっているので、変形した式が合っているか時々ロピタルの定理を使って確かめながら進めていきます。
高校レベルの知識で出来ることで、とりあえず思いついたのは、

lim(x→0) (x-sinx)/x^3
=lim(x→0) (-sinx)/x^3 ・・・x/x^3→0なので
=lim(x→0) -{sin(3x)}/27x^3 ・・・xを3xと置きなおしても等価なので
=lim(x→0) {1-sin(3x)}/27x^3
=lim(x→0) {-3sinx+4(sinx)^3}/27x^3
=lim(x→0) -sinx/x^3+(4/27)・(sinx)^3/x^3
=lim(x→0) -sinx/x^3+4/27 ・・・ lim(x→0) (sinx)^3/x^3→1 を使用 ←使ってよいか自信が無い

さて、-sinx/x^3 がまた出てきたので、結果は
初項4/27、公比1/9 の等比級数の和であるから

上式=(4/27)/(1-1/9)=1/6

さて、答えがあっているので解き方も合っているのではないかと思うのですが、
大学受験は20年前のことですしまったく自信がありません。
何かありましたら、指摘回答でもいいのでフォローをお願いします。

わざわざ問題が
-sinx/x^3
ではなくて
(x-sinx)/x^3
なのだから、最初のxがヒントでもっとスマートな解き方があるのではないかとは思うのですが、思いつきませんでした。

回答No.2

ryoryoryory

マクローリン展開は、高等数学で習ったかな？覚えてないけど、非常に便利です。また、ロピタルも重要ですので、この際覚えておいてください。たぶん、展開式以外だったらロピタルしか方法がなさそうです。

ロピタルの定理
x=aを含む開区間で、微分可能な関数f(x),g(x)について
lim(x→０)f(x)=0,lim(x→０)g(x)=0のとき

lim(x→0)f'(x)/g'(x)が存在するならば、
lim(x→0)f(x)/g(x)=lim(x→0)f'(x)/g'(x)

証明は大学数学ですので、知りたければ大学用の教材を参照してください。ここでは書くと長くなりますので省略します。ロルやコーシーの平均値の定理を前提にロピタルの定理は証明できます。

f(x)=x-sinx
g(x)=x^3
と置くと、

f'(x)=1-cosx
g'(x)=3x^2

ロピタルの定理より
lim(x→0)f(x)/g(x)=lim(x→0)f'(x)/g'(x)=lim(x→0)(1-cosx)/(3x^2)

(1-cosx)/(3x^2)=(1-cosx)(1+cosx)/{(3x^2)(1+cosx)}
={1-(cosx)^2}/{(3x^2)(1+cosx)}
=(1/3)(sinx)^2/{(x^2)(1+cosx)}
=(1/3)(sinx/x)^2/(1+cosx)

lim(x→0)sinx/x=1
証明割愛

lim(x→0)cosx=1

lim(x→0)(1/3)(sinx/x)^2/(1+cosx)=(1/3)(1^2)/(1+1)
=(1/3)/2
=1/6

∴lim(x→0)(x-sinx)/x^3 =1/6

回答No.1

bran111

極限値の計算はロピタルか級数展開、両方とも使えなければ受験では勝てません。よってロピタルを勉強せよというのが正しい指導ですがここでは残りの級数展開で臨みましょう。級数展開もできないというならこの問題を正攻法で解けないのと同じです。

マクローリン展開により

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...

lim(x→0)(x-sinx)/x^3=lim(x→0)(x^3/3!-x^5/5!+...)/x^3

=lim(x→0)(1/3!-x^2/5!+...)=1/3!=1/6

補足

回答ありがとうございます。
マクローリン展開ですか？まだ、習ってないので分かりません(申し訳ないです。)