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極限値の問題について

極限値の問題について lim[x→∞]log x/x を、ロピタルの定理を使わない求め方が分かりません。何方か教えていただけないでしょうか?

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任意のε>0 に対して,e^(2/ε)<K となる K があり K<x ならば y=logx とすると y=logx>logK>2/ε x=e^y≧1+y+y^2/2 x/y≧1/y+1+y/2>y/2>1/ε |(logx)/x|=y/x<ε lim_{x→∞}(logx)/x=0

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質問者からのお礼

理解できました。ご丁寧に解説ありがとうございました。

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その他の回答 (5)

  • 回答No.5

#1,2です。 R_Earlさん、指摘ありがとうございます。 おっしゃるとおり、あの内容だけではだめですね。 「はさみうち」にするのが正解ですね。 失礼しました。

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  • 回答No.4
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

極限が解るから、グラフの概形が描けるんであって、 グラフの概形から極限の値を導いたのでは、 どうやって値を求めたのか、説明を省略しているに過ぎない。 No.3 のように評価するのもよいが、ハサミウチを行うなら、 x = exp y と置換して、lim[y→∞] y/exp y で考えると簡単になる。 exp ∞ がムチャでかい というのは、直感的には明らかだが、 それを式で評価するには、 exp y = 1 + y + (1/2)y^2 + (1/6)y^3 + … を二次項またはそれ以上で打ち切って、 y > 0 では正項級数であることから、たとえば、exp y > 1 + y + (1/2)y^2。 ここから、0 < y/exp y < y/{1 + y + (1/2)y^2} が出る。

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  • 回答No.3
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

ANo.1の方へ y = (logx)/xのグラフの概形からは x → ∞の時に(logx)/x → 0を示す事は出来ない気がします。 y = (logx)/xのグラフは、xの値を増やすとあるところから単調減少の関数となります。 「1 ≦ xの時に常に0 ≦ (logx)/x」という条件も照らし合わせてグラフを描いてみると、 このグラフから x → ∞の時の(logx)/xの値は、 0以上「(logx)/xの最大値」以下の値に収束する ということが判断できます。ただし示せるのはそこまでです。 その収束値が0であるという保証がありません。 ただ、1 ≦ xの時に常に 0 ≦ logx/x ≦ 「logx/xの最大値」 となる事を示すと、 (logx)/xに似たものの極限値を求めることができます。 例えば、x → ∞の時に(logx)/(x^2) → 0となることを示せます。 0 ≦ logx/x ≦ 「logx/xの最大値」という不等式に1/xをかけることにより、 0 ≦ (logx)/(x^2) ≦ 「logx/xの最大値」/x という不等式を作れます。 この不等式でx → ∞を考えると、はさみうちの原理により x → ∞の時、(logx)/(x^2) → 0となることが示せます。 この方法と似たような方法で、(logx)/xがx → ∞の時に0に収束する事を示せます。 y = (logx)/xの分母の次数を下げた、y = (logx)/√xという関数を用意します。 そしてy = (logx)/√xのグラフを1 ≦ xの範囲で描いて下さい。 そして1 ≦ xの時、0 ≦ (logx)/√x ≦ ((logx)/√xの最大値)を示してください。 1 ≦ xの時、0 ≦ (logx)/√x ≦ ((logx)/√xの最大値)が示せれば、 はさみうちの原理を利用して問題を解く事ができます。

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  • 回答No.2

#1です。 1点補足です。 >いまの問題では、log(x)/x> 0であることも使いますね。 x> 1のときに成り立つ、よって x→∞とするときにも成り立つという意味です。

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  • 回答No.1

こんばんわ。 単純に計算できないようなときは、「関数として評価」してみるとよいです。 どういうことかというと、増減表を用いて、グラフの概形を描くということです。 いまの問題では、log(x)/x> 0であることも使います。

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