偏微分とかの問題を教えてください。

質問

(1)
f(x,y)=sin log(x+2y)の(x,y)=(2,1)のまわりでの1次近似式と偏微分係数を求めなさい
(2)
f(x,y)=Arctan(x tany)の(x,y)=(a,b)のまわりでの1次近似式と偏微分係数を求めなさい
(3)
z=a-(x-b・e^(-y))^2、(aとbは定数)が次を満たすことを示しなさい。
2x(∂z/∂x)＋(∂z/∂x)^2=2(∂z/∂y)
(4)
z=(1/a)(x+ay)^2+b、(a,bは定数)が次を満たすことを示しなさい
(∂z/∂x)・(∂z/∂y)=2x・(∂z/∂x)+2y・(∂z/∂y)
(5)
Φ(ε)が任意の微分可能1変数関数であるとし、u(x,y)=Φ(2xy)とする。次が成立する事を示しなさい
x・(∂u/∂x)+x・(∂u/∂y)=0
(6)
Φ(ε)が任意の微分可能1変数関数とし、u=u(x,y)=(x＋y)Φ(x^2-y^2)とする。
次が成立することを示しなさい
y・(∂u/∂x)+x・(∂u/∂y)=u
(7)
Φ(ε)が任意の微分可能1変数関数であり、a,b,cが実定数であるとき、
u(x,y)=Φ(ax^2+2bxy+cy^2)とすると次が成立する事を示しなさい
(bx-cy)・(∂u/∂x)-(ax+by)・(∂u/∂y)=0

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

(1)
f(x,y)=sin{log(x+2y)}の(x,y)=(2,1)のまわりでの1次近似式と偏微分係数を求めなさい
＞∂f/∂x=cos{log(x+2y)}*{1/(x+2y)}
={1/(x+2y)}cos{log(x+2y)}
∂f/∂x(2,1)={1/(2+2)}cos{log(2+2)}=(1/4)cos(log4)
∂f/∂y=cos{log(x+2y)}*{1/(x+2y)}*2
={2/(x+2y)}cos{log(x+2y)}
∂f/∂y(2,1)={2/(2+2)}cos{log(2+2)}=(1/2)cos(log4)
f(2,1)=sin{log(2+2)}=sin(log4)
以上から
f(x,y)≒f(2,1)+∂f/∂x(2,1)*(x-2)+∂f/∂y(2,1)*(y-1)
=sin(log4)+(1/4)cos(log4)*(x-2)+(1/2)cos(log4)*(y-1)
=sin(log4)+(1/4)(x+2y-4)cos(log4)・・・答
偏微分係数は
∂f/∂x(2,1)=(1/4)cos(log4)・・・答
∂f/∂y(2,1)=(1/2)cos(log4)・・・答
(2)
f(x,y)=Arctan(xtany)の(x,y)=(a,b)のまわりでの1次近似式と偏微分係数を求めなさい
＞∂f/∂x=[1/{1+(xtany)^2}]*tany=tany/(1+x^2tan^2y)
=sinycosy/(cos^2y+x^2sin^2y)=(1/2)sin(2y)/(cos^2y+x^2sin^2y)
∂f/∂x(a,b)=(1/2)sin(2b)/(cos^2b+a^2sin^2b)
∂f/∂y=[1/{1+(xtany)^2}]*(x/cos^2y)=x/(cos^2y+x^2sin^2y)
∂f/∂y(a,b)=a/(cos^2b+a^2sin^2b)
以上から
f(x,y)≒Arctan(atanb)+{(1/2)sin(2b)/(cos^2b+a^2sin^2b)}*(x-a)
+{a/(cos^2b+a^2sin^2b)}*(y-b)
=Arctan(atanb)+{(x-a)sin(2b)+2a(y-b)}/{2(cos^2b+a^2sin^2b)}・・・答
偏微分係数は
∂f/∂x(a,b)=sin(2b)/{2(cos^2b+a^2sin^2b)}・・・答
∂f/∂y(a,b)=a/(cos^2b+a^2sin^2b)・・・答
(3)
z=a-(x-b・e^(-y))^2、(aとbは定数)が次を満たすことを示しなさい。
2x(∂z/∂x)＋(∂z/∂x)^2=2(∂z/∂y)
＞∂z/∂x=-2{x-be^(-y)}=-2x+2be^(-y)
(∂z/∂x)^2=4{x-be^(-y)}^2=4{x^2-2bxe^(-y)+b^2e^(-2y)}
=4x^2-8bxe^(-y)+4b^2e^(-2y)
2x(∂z/∂x)＋(∂z/∂x)^2=2x{-2x+2be^(-y)}+4x^2-8bxe^(-y)+4b^2e^(-2y)
=-4bxe^(-y)+4b^2e^(-2y)
(∂z/∂y)=-2{x-be^(-y)}*{-be^(-y)}*(-1)=-2bxe^(-y)+2b^2e^(-2y)
2(∂z/∂y)==-4bxe^(-y)+4b^2e^(-2y)
∴2x(∂z/∂x)＋(∂z/∂x)^2=2(∂z/∂y)(証明終わり)
(4)
z=(1/a)(x+ay)^2+b、(a,bは定数)が次を満たすことを示しなさい
(∂z/∂x)・(∂z/∂y)=2x・(∂z/∂x)+2y・(∂z/∂y)
＞∂z/∂x=(2/a)(x+ay)
∂z/∂y=2(x+ay)
(∂z/∂x)*(∂z/∂y)=(2/a)(x+ay)*2(x+ay)=(4/a)(x+ay)^2
=(4/a)(x^2+2axy+a^2y^2)=(4/a)x^2+8xy+4ay^2
2x*(∂z/∂x)+2y*(∂z/∂y)=2x*(2/a)(x+ay)+2y*2(x+ay)
=(4x/a)(x+ay)+4y(x+ay)
=(4/a)x^2+8xy+4ay^2
∴(∂z/∂x)・(∂z/∂y)=2x・(∂z/∂x)+2y・(∂z/∂y)(証明終わり)
(5)
Φ(ε)が任意の微分可能1変数関数であるとし、u(x,y)=Φ(2xy)とする。次が成立する事を示しなさい
x・(∂u/∂x)+x・(∂u/∂y)=0
＞2xy=εとおくと
∂u/∂x=(∂Φ/∂ε)*(∂ε/∂x)=(∂Φ/∂ε)*2y
∂u/∂y=(∂Φ/∂ε)*(∂ε/∂y)=(∂Φ/∂ε)*2x
x・(∂u/∂x)+x・(∂u/∂y)=(∂Φ/∂ε)*2xy+(∂Φ/∂ε)*2x^2
=0にはならない。問題が違うのでは？
(6)
Φ(ε)が任意の微分可能1変数関数とし、u=u(x,y)=(x＋y)Φ(x^2-y^2)とする。
次が成立することを示しなさい
y・(∂u/∂x)+x・(∂u/∂y)=u
＞x^2-y^2=εとおくと
∂u/∂x=Φ+(x＋y)(∂Φ/∂ε)(∂ε/∂x)=Φ+(x＋y)(∂Φ/∂ε)*2x
∂u/∂y=Φ+(x＋y)(∂Φ/∂ε)(∂ε/∂y)=Φ+(x＋y)(∂Φ/∂ε)*(-2y)
y*(∂u/∂x)+x*(∂u/∂y)=y*{Φ+(x＋y)(∂Φ/∂ε)*2x}+x*{Φ+(x＋y)(∂Φ/∂ε)*(-2y)}
=yΦ+2xy(x＋y)(∂Φ/∂ε)+xΦ-2xy(x＋y)(∂Φ/∂ε)=(x+y)Φ=u(証明終わり)
(7)
Φ(ε)が任意の微分可能1変数関数であり、a,b,cが実定数であるとき、
u(x,y)=Φ(ax^2+2bxy+cy^2)とすると次が成立する事を示しなさい
(bx-cy)・(∂u/∂x)-(ax+by)・(∂u/∂y)=0
＞ax^2+2bxy+cy^2=εとおくと
∂u/∂x=(∂Φ/∂ε)(∂ε/∂x)=(∂Φ/∂ε)*(2ax+2by)
∂u/∂y=(∂Φ/∂ε)(∂ε/∂y)=(∂Φ/∂ε)*(2bx+2cy)
(bx-cy)*(∂u/∂x)-(ax+by)*(∂u/∂y)
=(bx-cy)*{(∂Φ/∂ε)*(2ax+2by)}-(ax+by){(∂Φ/∂ε)*(2bx+2cy)}
=2(∂Φ/∂ε){(bx-cy)(ax+by)-(ax+by)(bx+cy)}
=2(∂Φ/∂ε){(abx^2+b^2xy-acxy-bcy^2)-(abx^2+acxy+b^2xy+bcy^2)}
=0にはならない。問題が違うのでは？
問題は
(bx-cy)・(∂u/∂x)-(ax+by)・(∂u/∂y)=0ではなく、
(bx+cy)・(∂u/∂x)-(ax+by)・(∂u/∂y)=0では？

お礼

ありがとうございました
とても助かりました

回答No.4

info222_

No.2です。

問題数が多いので、(1),(2)に続いて
(3)、(4) だけ

(3)
z=a-(x-b・e^(-y))^2、(aとbは定数)が次を満たすことを示しなさい。
2x(∂z/∂x)＋(∂z/∂x)^2=2(∂z/∂y) …(※)
------
∂z/∂x=-2(x-b・e^(-y))・∂(x-b・e^(-y))/∂x
=-2(x-b・e^(-y))・1=-2(x-b・e^(-y))

したがって
(※)の左辺=-4x(x-b・e^(-y))+4(x-b・e^(-y))^2
=-4xb・e^(-y)+4(b・e^(-b))^2 …(※1)

∂z/∂y=-2(x-b・e^(-y))・∂(x-b・e^(-y))/∂y
=-2(x-b・e^(-y))・(b・e^(-y))
=-2xb・e^(-y)+2(b・e^(-y))^2
(※)の右辺=-4xb・e^(-y)+4(b・e^(-y))^2 …(※2)

よって　(※1)=（※2）なので
(※)が成り立つ。
（証明終り）

(4)
z=(1/a)(x+ay)^2+b、(a,bは定数)が次を満たすことを示しなさい
(∂z/∂x)・(∂z/∂y)=2x・(∂z/∂x)+2y・(∂z/∂y) …(※)
-------
∂z/∂x=(2/a)(x+ay)・∂(x+ay)/∂x=(2/a)(x+ay)
∂z/∂y=(2/a)(x+ay)・∂(x+ay)/∂y=(2/a)(x+ay)・a=2(x+ay)

(※)の左辺=(4/a)(x+ay)^2
(※)の右辺=(4x/a)(x+ay)+4y(x+ay)
　=(4/a)(x+ay)(x+ay)=(4/a)(x+ay)^2

よって（※）が成立する。
（証明終り）

お礼

本当にありがとうございました
役立ちました

回答No.2

info222_

問題数が多いのでとりあえず(1),(2)だけ。

(1)
f(x,y)=sin(log(x+2y))の(x,y)=(2,1)のまわりでの1次近似式と偏微分係数を求めなさい

log(・)を自然対数とします。

f(2,1)=sin(log(4))=sin(2log(2))
f_x(x,y)=cos(log(x+2y))・(log(x+2y))'
=cos(log(x+2y))/(x+2y)・∂(x+2y)/∂x
=cos(log(x+2y))/(x+2y)
f_y(x,y)=cos(log(x+2y))・(log(x+2y))'
=cos(log(x+2y))/(x+2y)・∂(x+2y)/∂y
=2cos(log(x+2y))/(x+2y)

偏微分係数
f_x(2,1)=cos(2log(2))/4
f_y(2,1)=cos(2log(2))/2

一次近似式
f(x,y)≒f(2,1)+(x-2)f_x(2,1)+(y-1)f_y(2,1)
=sin(2log(2))+{(1/4)(x-2)+(1/2)(y-1)} cos(2log(2))

(2)
f(x,y)=tan^-1(x tan(y))の(x,y)=(a,b)のまわりでの1次近似式と偏微分係数を求めなさい

f(a,b)=tan^-1(a tan(b))
公式：(tan^-1(t))'=1/(1+t^2), (tan(t))'=1+tan^2(t)を用いて
f_x(x,y)=1/(1+(x tan(y))^2)・∂(x tan(y))/∂x=tan(y)/(1+(x tan(y))^2)
f_y(x,y)=1/(1+(x tna(y))^2)・∂(x tan(y))/∂y=x(1+tan^2(y))/(1+(x tan(y))^2)

(a,b)における偏微分係数
f_x(a,b)=tan(b)/(1+(a tan(b))^2)
f_y(a,b)=a(1+tan^2(b))/(1+(a tan(b))^2)

一次近似式
f(x,y)≒f(a,b)+(x-a)f_x(a,b)+(y-b)f_y(a,b)
=tan^-1(a tan(b))+{((x-a)tan(b)+a(y-b)(1+tan^2(b))}/(1+(a tan(b))^2)

お礼

どうもありがとうございました。
助かりました

回答No.1

Willyt

独立変数が一つの場合の微分はできるのですよね。もしそうなら偏微分も基本は同じです。ただし、偏微分をする独立変数以外の独立変数は変化しないとするのが偏微分の定義ですから、ｘで偏微分するときにはｙ、ｙで偏微分するときにはx　を定数と見做して計算を進めればいいのです。それが分ればあとは自分で解けますよね。