複素数の微分を利用した問題について質問

質問

u(x , y) = ax^2 + by^2とする。w(z) = u + ivが正則となるとき、実数a , bの間に成り立つ関係を示せ。このときwの虚部すなわちuと共役な関数
v(x , y)を求め、wをzの関数として表せ。さらに、z-平面上の曲線
u(x , y) = C1とv(x , y) = C2の交点で、両者は直交することを示せ。直交しない点zがあれば求めよ。
【解答】
Cauchy-Riemannの関係式より、
　u_x = v_y , u_y , -(v_x)
ここで、
　u_x = 2ax , u_y = 2by
より、
　v_y = 2ax , v_x = -2by
v_yをxを固定してyで積分すると、
　v = 2axy + f(x)
ただし、f(x)はxについての関数。vをxで偏微分して、
　v_x = 2ay + df(x)/dx = -2by
　df(x)/dx = -2ay - 2by = -2(a + b)y
ここで、df(x)/dx はxだけの関数、-2(a + b)yは
yだけの関数なので結局両者は定数とならなければいけない。
よって、a + b = 0であることが必要。すなわち、
　a = -b
そして、右辺が0になるから左辺も当然0になる。
よって、f(x)も定数でなければならない。そこで、
　f(x) = C（定数）
とおくことにする。すると、
　v(x , y) = 2axy + C (= -2bxy + C)
がuと共役な関数v(x , y)となる。

ここで、z-平面状の曲線の式
　u(x , y) = a(x^2 - y^2) = C1
　v(x , y) = 2axy = C2
を考えられる。変形して、
　y^2 = x^2 - C1/a
　2yy' = 2x
　y' = x/y = ±x/sqrt(x^2 - C1/a)　(i)
　y = (C2/2a)(1/x)
　y' = -(C2/2a)(1/x^2)　　　　　　 (ii)
(i) * (ii) = -1になれば直交するので、

・・・？

というとこまで来たのですが、どこが間違っているのでしょうか・・。
y'同士の積が-1になるようにしようとしてもできません。

よろしくお願いします。

回答No.3

moumougoo

ちと違う方向から、

w(z)は正則なので、zの多項式であらわせるとすると、uが２次式のみからなるので、ｖも２次式。なのでw(z)=Az^2+Cという形（A，Cは複素係数）。ということでa=-b=Aかつ、v=2Axy+Cとなる。

後半は実際に出てきた関数で確かめるという作業ですが、一般的にも・・・
du=(dx∂u/∂x+dy∂u/∂y)=dC1=0
dv=(dx∂v/∂x+dy∂v/∂y)=dC2=0
の曲線を考えるので直行しているためには
ベクトル(∂u/∂x,∂u/∂y)⊥(∂v/∂x,∂v/∂y)であればよいので
あとは内積をとって・・・

回答No.2

ojisan7

なんか、まわりくどいような気がしますが、もう、解答まで、たどり着いているようですね。

　y' = x/y 　(i)
　y = (C2/2a)(1/x)
　y' = -(C2/2a)(1/x^2)=-y/x　 (ii)
となっていますね。確かに、(i) * (ii) = -1が成り立っています。

回答No.1

eatern27

>　u(x , y) = a(x^2 - y^2) = C1
>　v(x , y) = 2axy = C2
が直交するというのは、その交点で直交するということです。

C1,C2を決めれば、交点の座標が決まります。
従って、「任意のxで(i)*(ii)=-1」である必要はなく(そのように思われたのですよね？)、その交点で(i)*(ii)=-1であればよいのです。

交点の座標を(X,Y)などと置いて考えた方が分かりやすいでしょう。