方向微分係数の問題です

質問

関数ｆ(x、y、z)＝ａxy^2＋byz+cz^2x^3のX＝（1,2、-1）における方向微分係数の値がZ軸正の方向において最大であり、その値が64となるようにａ，ｂ，ｃの値を定めよ。
という問題なんですが、最大について、どのようにあつかえばいいのかわかりません

回答No.2

spring135

urlにあるように

スカラー場 Φの点 M における l方向への方向微係数は∂Φ/∂l=grad(Φ)・l↑ で与えられます.l↑はl方向の単位ベクトルです。

問題ではΦ＝f(x,y,z),l↑=k↑(z方向の単位ベクトル）なので

grad(f)=(∂f/∂x)i↑+(∂f/∂y)j↑+(∂f/∂z)k↑=(ay^2+3cz^2x^2)i↑+(2axy+bz)j↑+(by+2czx^3)k↑

grad(f)・k↑=by+2czx^3

点（1,2、-1）におけるk方向微分値＝2b-2c

これの最大最小というのは何とも情報不足でこれ以上扱いようがありません。

回答No.1

spring135

X＝（1,2、-1）は(x,y,z)=(1,2,-1)の点という意味ですか。

＞方向微分係数の値がZ軸正の方向において最大であり、

x,y,z方向の単位ベクトルをi,j,kとするとk方向という意味ですか。つまり

grad(f)・j=∂f/∂ｚの意味ですか。

補足

(x,y,z)=(1,2,-1)の点という意味ですか。

方向微分係数の値がZ軸正の方向において最大であり、

x,y,z方向の単位ベクトルをi,j,kとするとk方向という意味です。
最後の一文の意味が少しわかりません。