偏微分を用いた合成関数の証明問題

質問

次のことを証明せよ。
Y(∂Z/∂X)=(1/2)(∂Z/∂Y)のとき、ZはX+Y^2だけの関数である。
という問題で、
u=X+Y^2,v=X,Y=(u/v)^1/2とおき、
Zv=ZxXv+ZyYv
=Zx+Zy*(1/2)*(u/v)^(-1/2)*(-u/v^2)
=Zx-Zy*(1/2)*(1/Y)*{(X+Y^2)/X^2}
と、ここまで解いたのですがこの後がわかりません。
教えてください。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

Y(∂Z/∂X)=(1/2)(∂Z/∂Y)

補助方程式を作ると
dx/y＝－2dy＝dz/0
となるので
z＝c1
また
dx/y＝－2dyからx+y^2＝c2
依ってｆを任意関数として
z＝ｆ(x+y^2)と表す事が出来て、zはx+y^2の関数となる。