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偏導関数の問いを教えて下さい
- z={(ax+by)^2}/(a^2+b^2)、a,bは定数、が条件を満たすことを示しなさい。
- Φ(ε)が微分可能1変数関数、u=u(x,y)=(x-y)Φ(x^2-y^2)とする。条件を示しなさい。
- uを点(x,y,z)と原点の距離u=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)または点(x,y,z)とz軸の距離u=(x^2+y^2)^(1/2)とする。条件を示しなさい。
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(1)z={(ax+by)^2}/(a^2+b^2)、a,bは定数、が下のものを満たすことを示しなさい。 (∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2=4z >∂z/∂x={2a(ax+by)}/(a^2+b^2) ∂z/∂y={2b(ax+by)}/(a^2+b^2) (∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2 ={2a(ax+by)}^2/(a^2+b^2)^2+{2b(ax+by)}^2/(a^2+b^2)^2 ={4a^2(ax+by)^2+4b^2(ax+by)^2}/(a^2+b^2)^2 =4(ax+by)^2(a^2+b^2)/(a^2+b^2)^2 =4(ax+by)^2/(a^2+b^2)=4z(証明終わり) (2)Φ(ε)が任意の微分可能1変数関数であるとし、u=u(x,y)=(x-y)Φ(x^2-y^2)とする。次が成立する事を示しなさい y・(∂u/∂x)+x・(∂u/∂y)=-u >∂u/∂x=Φ(x^2-y^2)+(x-y)(2x)∂Φ/∂ε ∂u/∂y=-Φ(x^2-y^2)+(x-y)(-2y)∂Φ/∂ε y・(∂u/∂x)+x・(∂u/∂y) =yΦ(x^2-y^2)+(x-y)(2xy)∂Φ/∂ε-xΦ(x^2-y^2)+(x-y)(-2xy)∂Φ/∂ε =yΦ(x^2-y^2)-xΦ(x^2-y^2)=-(x-y)Φ(x^2-y^2)=-u(証明終わり) (3)uを点(x,y,z)と原点の距離u=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)、あるいは点(x,y,z)とz軸の距離u=(x^2+y^2)^(1/2)とする。 両方の場合に対し次が成立する事を示しなさい。 (∂u/∂x)^2+(∂u/∂y)^2+(∂u/∂z)^2=1、(u>0となる点で) >(ア)uが点(x,y,z)と原点の距離u=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)の場合 ∂u/∂x=(1/2)(2x)(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)=x(x^2+y^2+z^2)^(-1/2) ∂u/∂y=(1/2)(2y)(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)=y(x^2+y^2+z^2)^(-1/2) ∂u/∂z=(1/2)(2z)(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)=z(x^2+y^2+z^2)^(-1/2) (∂u/∂x)^2+(∂u/∂y)^2+(∂u/∂z)^2 =x^2(x^2+y^2+z^2)^(-1)+y^2(x^2+y^2+z^2)^(-1)+z^2(x^2+y^2+z^2)^(-1) =(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)=1(証明終わり) (イ)uが点(x,y,z)とz軸の距離u=(x^2+y^2)^(1/2)の場合 ∂u/∂x=(1/2)(2x)(x^2+y^2)^(-1/2)=x(x^2+y^2)^(-1/2) ∂u/∂y=(1/2)(2y)(x^2+y^2)^(-1/2)=y(x^2+y^2)^(-1/2) ∂u/∂z=0 (∂u/∂x)^2+(∂u/∂y)^2+(∂u/∂z)^2 =x^2(x^2+y^2)^(-1)+y^2(x^2+y^2)^(-1)+0 =(x^2+y^2)/(x^2+y^2)=1(証明終わり)
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ありがとうございます。 助かりました。