偏導関数の問いを教えて下さい(偏微分方程式とかの)

質問

(1)z={(ax＋by)^2}/(a^2+b^2)、a,bは定数、が下のものを満たすことを示しなさい。
(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2=4z
(2)Φ(ε)が任意の微分可能1変数関数であるとし、u=u(x,y)=(x-y)Φ(x^2-y^2)とする。次が成立する事を示しなさい
y・(∂u/∂x)+x・(∂u/∂y)=-u
(3)uを点(x,y,z)と原点の距離u=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)、あるいは点(x,y,z)とz軸の距離u=(x^2+y^2)^(1/2)とする。両方の場合に対し次が成立する事を示しなさい。
(∂u/∂x)^2+(∂u/∂y)^2+(∂u/∂z)^2=1、(u＞0となる点で)
お願いいたします

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

(1)z={(ax＋by)^2}/(a^2+b^2)、a,bは定数、が下のものを満たすことを示しなさい。
(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2=4z
＞∂z/∂x={2a(ax＋by)}/(a^2+b^2)
∂z/∂y={2b(ax＋by)}/(a^2+b^2)
(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2
={2a(ax＋by)}^2/(a^2+b^2)^2+{2b(ax＋by)}^2/(a^2+b^2)^2
={4a^2(ax＋by)^2+4b^2(ax＋by)^2}/(a^2+b^2)^2
=4(ax＋by)^2(a^2+b^2)/(a^2+b^2)^2
=4(ax＋by)^2/(a^2+b^2)=4z(証明終わり)
(2)Φ(ε)が任意の微分可能1変数関数であるとし、u=u(x,y)=(x-y)Φ(x^2-y^2)とする。次が成立する事を示しなさい
y・(∂u/∂x)+x・(∂u/∂y)=-u
＞∂u/∂x=Φ(x^2-y^2)+(x-y)(2x)∂Φ/∂ε
∂u/∂y=-Φ(x^2-y^2)+(x-y)(-2y)∂Φ/∂ε
y・(∂u/∂x)+x・(∂u/∂y)
=yΦ(x^2-y^2)+(x-y)(2xy)∂Φ/∂ε-xΦ(x^2-y^2)+(x-y)(-2xy)∂Φ/∂ε
=yΦ(x^2-y^2)-xΦ(x^2-y^2)=-(x-y)Φ(x^2-y^2)=-u(証明終わり)
(3)uを点(x,y,z)と原点の距離u=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)、あるいは点(x,y,z)とz軸の距離u=(x^2+y^2)^(1/2)とする。
両方の場合に対し次が成立する事を示しなさい。
(∂u/∂x)^2+(∂u/∂y)^2+(∂u/∂z)^2=1、(u＞0となる点で)
＞(ア)uが点(x,y,z)と原点の距離u=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)の場合
∂u/∂x=(1/2)(2x)(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)=x(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)
∂u/∂y=(1/2)(2y)(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)=y(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)
∂u/∂z=(1/2)(2z)(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)=z(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)
(∂u/∂x)^2+(∂u/∂y)^2+(∂u/∂z)^2
=x^2(x^2+y^2+z^2)^(-1)+y^2(x^2+y^2+z^2)^(-1)+z^2(x^2+y^2+z^2)^(-1)
=(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)=1(証明終わり)
(イ)uが点(x,y,z)とz軸の距離u=(x^2+y^2)^(1/2)の場合
∂u/∂x=(1/2)(2x)(x^2+y^2)^(-1/2)=x(x^2+y^2)^(-1/2)
∂u/∂y=(1/2)(2y)(x^2+y^2)^(-1/2)=y(x^2+y^2)^(-1/2)
∂u/∂z=0
(∂u/∂x)^2+(∂u/∂y)^2+(∂u/∂z)^2
=x^2(x^2+y^2)^(-1)+y^2(x^2+y^2)^(-1)+0
=(x^2+y^2)/(x^2+y^2)=1(証明終わり)

お礼

ありがとうございます。
助かりました。