偏微分の答えが出ません

質問

つぎの式で表される合成関数についてz(u),z(v)を求めよ。
z=x^3-3xy+y^3,x=uv,y=u^2+v^2です。
計算がうまくいきません。
答えは
z(u)=5u^5+12u^3v^2+9u^2v^3-9u^2v+6uv^4-3v^3
z(v)=5v^5+12u^2v^3+9u^3v^2-9uv^2+6u^4v-3u^3

回答No.3

spring135 · ベストアンサー

#1です。

∂z/∂u=(∂z/∂x)(∂x/∂u)+(∂z/∂y)(∂y/∂u)

=(3x^2-3y)v+(3y^2-3x)(2u)

=3[v(x^2-y)+2u(y^2-x)]

=3[v(u^2v^2-u^2-v^2)+2u(u^4+2u^2v^2+v^4)]

=6u^5+12u^3v^2+6uv^4+3u^2v^3-3u^2v-3v^3

∂z/∂v=(∂z/∂x)(∂x/∂v)+(∂z/∂y)(∂y/∂v)

=(3x^2-3y)u+(3y^2-3x)(2v)

=3[u(u^2v^2-u^2-v^2)+2v(u^4+2u^2v^2+v^4)]

=6u^4v+12u^2v^3+6v^5+3u^3v^2-3u^3-3uv^2

zがx,yの対称式

x,yがu,vの対称式

従って

∂z/∂uと∂z/∂vはu,vを取り換えたものになっているはずです。

お礼

ありがとうございました！
助かりました。

回答No.2

info222_

（答）はu,vについて対称であること。計算ミスをしないことに注意して計算されたし。
z_u, z_vの計算方法は多分あってると思いますが、(答)は両方とも２つの項で途中計算で間違いしたようです。途中計算が書いてないのでミス発生場所のチェックができません。ただ、あなたのz_u, z_vの(答)から推察すると、両方とも同じ箇所で計算ミスをしてるようです。
正しい(答)にたどり着くには、計算ミスをしないよう最新の注意力をはらって計算を進めるしか方法はありません。

[正しい答]
z_u=6u^5+12u^3v^2+3u^2v^3-9u^2v+6uv^4-3v^3
z_v=6v^5+12u^2v^3+3u^3v^2-9uv^2+6u^4v-3u^3

回答No.1

spring135

z(u),z(v)とは何ですか。

偏微分ならこのような書き方はしません。答も間違っています。

お礼

あと、正しい答え書いてくれるとありがたいです。
自分がやると、最初の項が一つ目のZuについては、6u^5だったりいろいろあるのですが、、、

補足

すみません
zの右下に小さなuとvです