積分⇒微分でよろしくお願いします．

質問

こんにちは．
積分を微分する問題ですが，よろしくお願いします．

　　　　　　　　　　　∞
＜与式＞　　Ｕ（a,b）=∫u{W(1+a+bz)}ψ(z)dz
　　　　　　　　　　　-∞
※　変数については以下のとおりです．　　　　　　　　
(1)　Ｗは定数です．
もともと，W(1+a+bz)の部分は，ｗ(１＋ｒ)で表されており，ｒ　は利子率のような成長率です．これを，ｚ＝(r-a)/bとして，変数変換してあり，ｒ＝a+bzを，代入して，与式となっています．

(2)　u（・）はWの関数です．
(3)　ψ(・) はzの関数です．
意味的には，u(・)に対して確率密度関数を与えていて，簡単に言えば　-∞～∞まで積分を取ることによって，uを加重平均していると言えますが，ただの関数に過ぎません．

■　この変数Zで積分されているＵ式を，パラメータである　　aとbでそれぞれ微分したいのです．
　　ちなみにｂの場合の答えは，

　　　　　　　　　　∞
　　　　dU/db＝Ｗ・∫(ｚ)・（u'）・ψ(z)dz
　　　　　　　　　　-∞
となるようですが．．．．？？お願いします．

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

要するに
(1)　U(a,b) = ∫{from -∞ to ∞} f(a,b,z) dz
の形のもので
(2)　∂U(a,b)/∂b
などを求めたい，ということですよね．
(3)　∂U(a,b)/∂b = ∫{from -∞ to ∞} {∂f(a,b,z)/∂b} dz
でＯＫです．
つまり，積分と偏微分の順序を交換しました．

今の場合は
(4)　f(a,b,z) = u{W(1+a+bz)}ψ(z)
ですから
(5)　∂f(a,b,z)/∂b = Wz u'{W(1+a+bz)}ψ(z)
になっているわけで
(6)　∂U(a,b)/∂b = W∫{from -∞ to ∞} z u'{W(1+a+bz)}ψ(z) dz
で，質問の答の通りになります．
W は単なる定数ですから積分の前に出しました．

同様にして
(7)　∂U(a,b)/∂a = W∫{from -∞ to ∞} u'{W(1+a+bz)}ψ(z) dz
です．

○ 今は積分範囲が a や b に依りません．
もし，積分範囲が a や b に依るのでしたら，そちらのことも考えないといけません．

○ 本当のことを言うと，積分と(偏)微分の順序は無条件に交換はできません．
解析学のテキストを見ますと，そういう注意と共に順序を交換すると結果が異なる例が
載っていたりします．
まあ，おとなしい関数なら順序交換は大丈夫なのですが，
ここではそういうことは追究しないことにします．

お礼

分かりやすい回答ありがとうございました．

時間があればで結構ですが，積分と微分の交換順序というのは，解析のテキストに載っているとのことですが，私の枕と化して手元にある高木貞治の「解析概論」でもどこにあるのか検討がつきません．たとえば，索引や目次で，どんな名前で調べればいいのでしょうか？（すこしだけ，それを待ちまして締め切らせていただきます．）

回答No.3

t-aoba

私の手元の本では「ポストモダン解析学」の243ページに微分と積分の順序交換について載っていました。「解析概論」でも調べてみましたが該当項目は見当たりませんでした。
この項目に関連したキーワードとしては「ルベーグの優収束定理」などでしょうか。
参考URLはGoogleで「微分　積分　順序交換」と入力して見つけたものです。

参考URL：

http://village.infoweb.ne.jp/~ryotakun/analy3-2.html

お礼

すこし気になってみてみたかったのでたいへん助かりました．感謝します．

回答No.2

t-aoba

合成関数の微分
dx/du=dx/dy・dy/dx
と積分と微分の順序交換を使います。
偏微分の場合はdU/dbではなく∂U/∂bです。
∂U/∂b=∂/∂b・∫u{W(1+a+bz)}ψ(z)dz
=∫∂/∂b・u{W(1+a+bz)}ψ(z)dz
=∫(u')Wzψ(z)dz
=W∫z(u')ψ(z)dz
合成関数の微分に慣れていないなら　W(1+a+bz）=t　と置いてみるといいと思います。
∂U/∂a はご自分でどうぞ。
なお、積分と微分の順序交換をする場合、ある条件が必要なのですが、この辺のことは数学科でないならあまり神経質になることはないと思います。

お礼

計算の展開を丁寧にしていただきありがとうございました．よく分かりました．

時間があればで結構ですが，積分と微分の交換順序というのは，解析のテキストに載っているとのことですが，私の枕と化して手元にある高木貞治の「解析概論」でもどこにあるのか検討がつきません．たとえば，索引や目次で，どんな名前で調べればいいのでしょうか？（すこしだけ，それを待ちまして締め切らせていただきます．）