半微分について

質問

こんにちは、このコーナーで以前に、非整数微分（半微分）のことを質問されているを見て興味を持ちました。
ちなみに、下記の式　ｙ　を、ｚ で　半微分した　後、x で　半微分　したら計算結果はどのようになるのでしょうか？

ｙ＝E^((-I)*ｐ*ｚ + I*k*x)

追伸
（１）E^(k*x)　をｘでn微分した場合、k^n*E^(k*x) となるので、ｙを、半微分しても、ある係数 × E^((-I)*ｐ*ｚ + I*k*x) 　となるんでしょうね。

（２）ｙ　を、ｘ で　半微分した　後、ｚ で　半微分　しても計算結果は同じでしょうね。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

> 下記の式　ｙ　を、ｚ で　半微分した　後、x で　半微分　したら
> 計算結果はどのようになるのでしょうか？

> ｙ＝E^((-I)*ｐ*ｚ + I*k*x)

y = f(z)g(x)
の形ですね．
半微分でも，定数は前へ出して良いですから，そりゃやっぱり
{∂^(1/2)∂^(1/2)y / ∂^(1/2)z ∂^(1/2)x}
　　={∂^(1/2)y / ∂^(1/2)z} {∂^(1/2)y / ∂^(1/2)z}
と思います．
性質の良い関数なら，半微分の順序によらないでしょう．
これで，本題の半分と追伸(2)はＯＫですね．

追伸(1)は重要です．
普通の微分なら，指数関数 e^x は微分しても変わりません．
e^(kx) なら D = d/dx を作用させたときに
(1)　　D e^x = e^x
ですから，e^x は微分演算子 D に対する固有関数になっていると言えます．
繰り返せば，kobe655 さんの言われるように
(2)　　D^n e^x = e^x
になります．

では，半微分 D^(1/2) に対しても(2)は成り立つのか？
結論から言うと，成り立ちません．

理由を探るには，Taylor 展開を見てみるとよいでしょう．
(3)　　e^x = 1 + x + (1/2!) x^2 + (1/3!) x^3 + ・・・
で，１回微分すると，
(3)の右辺第１項の１は消え，
x が１になり，
(1/2!) x^2 が x になり...
という具合で，項が１つずつずれて同じ無限級数を再現します．

さて，x^λ を半微分すると，
(4)　　D^(1/2) x^λ = {Γ(λ+1) / Γ(λ+1/2)} x^(λ-1/2)
となって，べき指数は 1/2 だけ下がります．
そうすると，(3)を半微分すれば
(5)　　x^(-1/2) の項 + x^(1/2) の項 + x^(3/2) の項 + ...
となり，これが e^x にならないのは明らかです．
つまり，(2)は n=1/2 に対しては(もっと一般には非整数の n に対しては)
成り立ちません．

そうすると，
(6)　　x^(-1/2) の項 + x^0 の項 + x^(1/2) の項 + x^1 の項 + ...
を作っておくと，D^(1/2) を作用させたときに
x^(-1/2) の項はゼロになり，
x^0 の項 は x^(-1/2) の項になり,
x^(1/2) の項 は x^0 の項になり，...
というわけで，うまく行きそうです．
もちろん，(4)を考えて，(6)の級数の各項の係数をうまく選んでおかないといけません．
こういう議論により，
(7)　　f(x) = (1/√π) x^(-1/2) + e^x erfc(-√x)
が半微分しても不変，すなわち
(8)　　D^(1/2) f(x) = f(x)
である性質を持つことが知られています．
erfc(z) は誤差関数の一種で
(9)　　erfc(z) = (2/√π) ∫{from x to ∞} e^(-t^2) dt
で定義されます．

http://mathworld.wolfram.com/Semiderivative.html
http://mathworld.wolfram.com/FractionalDerivative.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=807071
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=204022

補足

お返事ありがとうございます。

ｙ　を、ｚ で　半微分した　後、x で　半微分　したら
計算結果は、下記で　良いでしょうか？

ｙ＝E^((-I)*ｐ*ｚ + I*k*x)

まず、
x^λ を半微分すると，
(4)　　D^(1/2) x^λ = {Γ(λ+1) / Γ(λ+1/2)} x^(λ-1/2)
となりますので、
　D^(1/2) x^1 = 2/Sqrt[Pi]　 x^（1/2）
です。

同じように、D^(1/2) ｙ＾（1）の係数は、
2/Sqrt[Pi]* 2/Sqrt[Pi]* (-I)*ｐ* I*k＝(4*ｐ*k)/Pi
です。
また、Eのべき数は、（1/2）になるので
E^((-I)*ｐ*ｚ^（1/2） + I*k*x^（1/2）)
で、結局　答えは、

D^(1/2) ｙ＝(4*ｐ*k)/Pi* E^((-I)*ｐ*ｚ^（1/2） + I*k*x^（1/2）)

となる。と思います。如何でしょうか？

回答No.2

siegmund

siegmund です．
補足，拝見しました．

本質は
(A1)　D^(1/2) e^x = (係数) e^(√x)
になるか，いうことですよね．
そうはならないと思います．

e^x を Taylor 展開したものに D^(1/2) を作用させると，
各項のベキが 1/2 ずつ下がりますから，
(A2)　D^(1/2) e^x
　　　= {x^(-1/2) の項} + {x^(1/2) の項} + {x^(3/2) の項} + ・・・
となります．
x→0 としたときの値が e^(√x) とは違いますから，
(A1)にならないことは明らかでしょう．

(A2)の右辺で x^(-1/2) を前に出して
(A3)　{x^(-1/2)} × [定数 + {x の項} + {x^2 の項} + ・・・]
とすれば x^(-1/2) e^x にならないかということも考えられますが，
[　] 内の各項の係数をみるとそうはならないようです．

なお，
(A4)　D^(1/2) e^x = 1/√(πx) + e^x efc(√x)
であることが知られています．
ここで
(A5)　　erf(z) = (2/√π) ∫{from 0 to x} e^(-t^2) dt
です．
(A4)にもう一度 D^(1/2) を作用させると e^x になります．
このパラグラフは
K. B. Oldham and J. Spanier: The Fractional Calculus
(Academic Press, New York, 1974)
を参照しました．

ただし，
http://mathworld.wolfram.com/FractionalDerivative.html
にも書いてありますように，一般には
(A6) D^μ D^ν ≠ D^(μ+ν)
です．

お礼

お返事ありがとうございます。

何回も、同じ質問をして申し訳ございませんでした。

結論として、D^(1/2) e^x　が、(係数)e^x　や　(係数)e^(√x)　にならず、複雑な答えになることがわかりました。

私にとって、半微分が、あまり利用価値が無いことも、はっきりしました。ありがとうございました。