偏微分の計算について

質問

偏微分について学んでいます。
微分したい文字以外は係数とおいて計算するまではわかりました。

しかし以下のような偏微分の計算の仕方について困ってます。

「z＝x^2+y^2+2xyの2変数関数についてx,yのそれぞれで偏微分せよ。」という問題で、
∂z/∂x＝2x+2y、∂z/∂y=2y+2x
∂^2 z/∂x^2=2、∂^2 z/∂y^2=2
という計算まではできるのですが、

「∂^2 z/∂x∂y＝2」「∂^2 z/∂y∂x＝2」となる意味がよくわかりません。

∂^2 z/∂x∂y＝2、∂^2 z/∂y∂x＝2という答えを導くには
上の４つの
∂z/∂x＝2x+2y、∂z/∂y=2y+2x
∂^2 z/∂x^2=2、∂^2 z/∂y^2=2
のどれを使って、どう計算すればいいのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

info22

z=f(x,t)とおく。
fx=∂z/∂x＝2x+2y
をyで偏微分すると
fxy=∂(∂z/∂x)/∂y=∂(2x+2y)/∂y
fxy=∂^2 z/∂x∂y=2
と出てきます。

fy=∂z/∂y=2y+2x
をxで偏微分すると
fyx=∂(∂z/∂y)/∂x=∂(2x+2y)/∂x
fyx=∂^2 z/∂y∂x=2
と計算しても良いですね。

fxyとfyxとが等しくなる場合の条件は参考URLのSchwarzの定理に書かれています。この定理の条件が満たされない場合はfxy≠fyxとなるということですね。

参考URL：

http://www.math.titech.ac.jp/~inoue/EA-holder/EAI-02-06-25.pdf

回答No.1

noname#190095

∂^2 z/∂x∂y は∂z/∂x(=2x+2y)をyで偏微分したもの
∂^2 z/∂y∂x は∂z/∂y(=2y+2x)をxで偏微分したもの

となります。
ちなみに答えをみると∂^2 z/∂x∂y ＝ ∂^2 z/∂y∂x ＝2
となっていますが、これは偶然ではなくz(x,y)が連続関数なら
偏微分の順序を交換しても同じ関数になります(シュワルツの定理)。