偏微分方程式

質問

偏微分方程式の問題について

(1) ∂^2 z/∂x ^2 - 4∂^2z/∂x∂ｙ ＋ 4∂^2z/∂y^2 - z= 1

の解き方がどうしても分かりません。
問題の答えに至るまでの過程を教えてください。

解答例は(1) ｚ=e^(-x) Φ1（2x+y)+e^(x) Φ2 (2x+y)-1

です。宜しくお願いします。

回答No.1

Tacosan

左辺の偏微分をじっと眺めれば「うまいこと変数変換すればさくっと終わりそう」と思えるよね.

補足

上の問題で左辺を変形すると

∂^2 z/∂x ^2 - 4∂^2z/∂x∂ｙ ＋ 4∂^2z/∂y=(∂z/∂x - 2∂z/∂y)^(2)
=(Dx-2Dy)^(2)z-z

となることが分かりましたが、ここからどう展開していけばよいか分かりません。
どなたか教えていただけませんか。