ルジャンドルの多項式の導き方

質問

複素関数を独学中です。
ルジャンドルの多項式　P_n(z)　について。

P_n(z)=Σ{k;0→[n/2]}{(-1)^k(1/2)_(n-k)(2z)^(n-2k)}/{k!(n-2k)!}　…(1)
=(1/2^n)Σ{k;0→[n/2]}{(-1)^k(2n-2k)!z^(n-2k)}/{k!(n-k)!(n-2k)!}　…(2)

なお、式中で、[n/2]はn/2を越えない最大の整数です。また、(1/2)_(n-k)については、無限乗積
(z)_n=z(z+1)(z+2)…(z+n-1)=Π[k;1→n](z+k-1)　（但し(n≧1),　(z)_0=1です。）に準じて考える訳ですが、(1/2)_(n-k)=(1/2)(3/2)(5/2)…{(1/2)+n-k-1}=Π[k;1→n]{(1/2)+n-k-1}　で良いのどうか？という点が第1の疑問点です。

第2の疑問点は、(1)から(2)への過程が理解できない事です。(2)式の、1/2^nや(2n-2k)!/(n-k)!をどのように導出するのか出来るだけ詳しく教えて頂けたら幸いです。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>(1/2)_(n-k)=(1/2)(3/2)(5/2)…{(1/2)+n-k-1}=Π[k;1→n]{(1/2)+n-k-1}　で良いのどうか？

良くないです。
>(z)_n=z(z+1)(z+2)…(z+n-1)=Π[k;1→n](z+k-1)
のnにn-kを代入するわけなので、
(1/2)_(n-k)=(1/2)(1/2+1)(1/2+2)…(1/2+n-k-1)＝Π[j;1→n-k](z+j-1)
となります。(同じ文字kを使うのはややこしいので、文字jについての積としました)

>(2)式の、1/2^nや(2n-2k)!/(n-k)!をどのように導出するのか出来るだけ詳しく教えて頂けたら幸いです。

(1/2)_m
=(1/2)(1/2+1)(1/2+2)…(1/2+m-1)
=1*3*・・・*(2m-1)/2^m (←各項を2倍し、2倍した分(=2^m)で割った)
=((1*2*・・・*2m)/(2*4*・・・*2m))/2^m　
=((1*2*・・・*2m)/((1*2*・・・*m)*2^m))/2^m (←各項を2で割り、割った分(=2^m)をかけた)
=(2m)!/(m!*2^(2m))

のmにn-kを代入したものを、(1)に代入すると、(2)を得ます。(見難くてすいません)

お礼

今日は。早速のご回答有難うございます。
((1*2*…*2m)/(2*4*…2m))/2^m　に気付きませんでした。

＞(見難くてすいません)
とんでもないです。こちらこそ分かり辛い質問文に、分かり易く丁寧にお答え頂きましてとても感謝しています。よく理解できました。またの質問の際も宜しくお願い致します。