関数の性質と多項式の解法について
- 数学II【式と証明】 明治大学で扱われている関数f(x)について、f(f(x))=｛f(x)｝^2が成り立つ条件を求める問題です。
- 解答では、f(x)=0やf(x)≠0の場合について考え、多項式の形式で表すという手法を用いています。
- また、f(f(x))=a｛f(x)｝^nという式が問題文に出てきますが、その意味や目的についても解説されています。
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数学II【式と証明】 明治大学
f(x)はxの多項式で表される関数で、f(f(x))=｛f(x)｝^2がxの全ての実数値に対して成り立つという。 このようなf(x)をすべて求めよ。 解答には すべてのxについてf(x)=0は明らかに条件に適する。 f(x)≠0として、f(x)=ax^n+・・・・(a≠0,nは0または正の整数)とすると f(f(x))=a｛f(x)｝^n+・・・・ =a^n+1・x^(n^2) f(x)=x^2+bx+cとおけるから、f(f(x))=｛f(x)｝^2により (x^2+bx+c)^2+b(x^2+bx+c)+c=(x^2+bx+c)^2 【f(f(x))=a｛f(x)｝^n+・・・・】 の式はどっからでてきたのでしょうか？ また【a｛f(x)｝^n】とあるようにこの【a】は何のためにあるのですか？ xの多項式である事を表すためでしょうか？ 分かりやすく教えてください。お願いしますm（_ _）m
- kobedaigak
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- 数学・算数
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代入しただけです。 f(x) = a x^n + … とします。 y = f(x) を f(y) = a y^n + … へ代入すると、 f( f(x) ) = a { f(x) }^n + … となります。 a { f(x) }^n の a は、a y^n の所の a です。 この式へ、更に f(x) = a x^n + … を代入すると、 f( f(x) ) = a (a x^n)^n + … = a^(n+1)・x^(n^2) + … 最後の式は、「 + … 」を付けておかないと。
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- naniwacchi
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こんばんわ。 ＞【f(f(x))=a｛f(x)｝^n+・・・・】の式はどっからでてきたのでしょうか？ f(x)の xに f(x)を代入すれば、f(f(x))となりますね。 その式を単に代入して書き下しているだけですね。 ＞また【a｛f(x)｝^n】とあるようにこの【a】は何のためにあるのですか？ 「何のため」ではなく、「aはどのように置かれている定数なのか」を考えてみてください。
- koko_u_u
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>【f(f(x))=a｛f(x)｝^n+・・・・】 >の式はどっからでてきたのでしょうか？ 代入しただけじゃね？
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