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数学の質問です。

数学に関する質問です。 f(x)=ax^2+bx+c(a,b,cは整数）をxの正式とし、ωをx^3-1=0の1でない解とする。この時 (1) ｛f(1)｝^2＋2f(ω)f（ω^2）をa,b,cで表せ。 (2) 適当な自然数nに対し、{f(x)｝^n-1がx^3-1で割り切れるようなf(x)は、いくつあるか。 (1)は当然できたのですが、(2)は上手？なアプローチの仕方が分かりませんでした。 {f(x)｝^n-1=(x^3-1）Q(x)と設定して、 (ax^2+bx+c)^n=(x^3-1）Q(x)+1 と移行、 定数項に注目するとc^nが必ず1になることがわかり、 f(1)=f(ω^3)を利用して(1)の結果にf(ω^3)を代入してa+b=0になるところまで出しましたが、 そこから計算してもうまく答えが出ませんでした。 回答よろしくお願いします。

みんなの回答

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.5

おっと, 見逃していたが 3(a^3+b^3+c^3) という式はこの問題には全く関係ない. タイポじゃなく本当にこの式が出てきたのだとしたら, どこかで計算を間違えている.

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.4

で, f(1)^n=1 f(ω)^n=1 f(ω^2)^n=1 を使って計算したらどんな値になりましたか? 3(a^3+b^3+c^3) で止まっているわけじゃないですよね?

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.3

きちんと計算できていれば難しくないはずなんだが.... (1) の結果はどうなりましたか? また, f(1)^2 + 2f(ω)f(ω^2) の値はいくつになりましたか?

10d_t
質問者

補足

3(a^3+b^3+c^3)になりました。 それらしい形にはなりましたね。

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.2

あ～, f(1)^n = f(ω)^n = f(ω^2)^n = 1 から f(1)^2 + 2f(ω)f(ω^2) の値を出せってことか.... 今の場合 ω と ω^2 が共役で a, b, c が全て実数 (というか整数) だから f(ω) と f(ω^2) が共役であることに気付けばいい, と.

10d_t
質問者

補足

そこからどうf(x)の個数の確定に入るのかがわからないです＞＜

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

(1) をどう使うかなぁ. なんというか, 無視したい気もするけど.... 少なくとも「c^nが必ず1」は間違ってます.

10d_t
質問者

補足

書いたあとにそれは気づきました... f(1)^n=1 f(ω)^n=1 f(ω^2)^n=1 を使えば(1)を何とか使えそうな気もするのですが・・・

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