二次方程式の共通解

質問

こんばんは。
いつもお世話になっております。
よろしくお願いいたします。

mを0でない実数とする。２つのxの二次方程式x^2-(m+1)x-m^2=0とx^2-2mx-m=0がただ１つの共通解をもつとき、mの値は（ア）であり、そのときの共通解は(イ）である。

答えはア-1 イ-1です。

初めてみた問題で、解法が浮かばず困ってしまいました。
x^2-(m+1)x-m^2=0とx^2-2mx-m=0を＝でつなげて解いてみたのですが、失敗。いったいどのように解いたらよいのかわかりません。

よろしくお願いいたします。

回答No.4

debut · ベストアンサー

＞＝でつなげて解いてみたのですが
　ということでもいいのですよ。
　ただ、ｘのままではまずいので、共通解をαとするとでもして
　α^2－(ｍ＋１)α－ｍ^2＝０、α^2－２ｍα－ｍ＝０

α^2－(ｍ＋１)α－ｍ^2＝α^2－２ｍα－ｍ
移項して、整理すれば　(ｍ－１)α－ｍ(ｍ－１)＝０
共通因数を出して、(ｍ－１)(α－ｍ)＝０・・・☆
（ここでｍ＝１とα＝ｍがうかがえるので調べます）
ｍ＝１のとき、最初の２つの方程式はｘ^2－２ｘ－１＝０で
同じになり共通解を２つもつことになるので、ｍ≠１です。
よって、☆より、α＝ｍ
これを最初の式に代入すれば
ｍ^2－ｍ(ｍ＋１)－ｍ^2＝０
ｍ(ｍ＋１)＝０
ｍは０でないので、ｍ＝－１　となります。

補足

debutさん
ありがとうございます。

すみません質問があります。
なぜxのままではまずいのでしょうか。

よろしくお願いいたします。

回答No.7

take_5

＞なぜxのままではまずいのでしょうか。

xのままだと、全ての方程式が対象になるからです。
勿論、最初は全ての方程式として与えられますが、その中で特殊な解（共通解であるα）について成立する事と分けるべきですから。

つまり、共通解をαとすると、α^2-(m+1)α-m^2＝0とα^2-2mα-m＝0がただ1つの共通解を持つ時のmを求める問題になる。

ちょつと、皆と違う解法をやってみよう。

α^2-2mα-m＝0より（2α＋1）m＝α＾2.
2α＋1≠0より、m＝α＾2/（2α＋1）となるから、これをα^2-(m+1)α-m^2＝0に代入して整理すると（α＾2）（α＋1）＝0となる。
mを0でない実数とするという条件から、α≠0.
よってα＝-1.このとき、m＝-1となる。実際にそのときは、2つの方程式は（α＋1）*（α-1）＝0と（α＋1）＾2＝0となり題意を満たす。

お礼

take_5さん
ありがとうございました。

他の解法おしえてくださってありがとうございます。

回答No.6

yagoro

>例えば１と２を解に持つ方程式　ｘ^2－３ｘ＋２＝０と
>３と４を解に持つ方程式　ｘ^2－７ｘ＋12＝０を
>ｘ^2－３ｘ＋２＝ｘ^2－７ｘ＋12　として解けばわかるように
>ｘ＝５/２となって、これは違う方程式を考えていることに
>なってしまいます。

#2に書いてあるとおり、その例では一次結合をとる意味がありません。
共通解を１つだけもつ２つの二次方程式をたてて、つなげてみましょう。１つの共通解が出るはずです。
あと計算のほうですが、#4の☆の一つ前の行
(m-1)x-m(m-1)=0　※
で充分です。この時点でm≠1であることがわかります。
そしてこの一次方程式を解くとx=mと出ます。
以下略です。

※２式が共通解を持つので同じ文字xで結合をとる。こうして得られたxに関する１次方程式は１つの共通解をもつ。詳しくは教科書。

ちなみに私の持ってる古い教科書にはこのような内容は見られませんでした。

お礼

yagoroさん
ありがとうございました。

ご丁寧な解説とても助かりました。

回答No.5

debut

＞なぜxのままではまずいのでしょうか。

厳密に言えば、ｘのままでは、違う方程式を解くことになって
しまうからです。

例えば１と２を解に持つ方程式　ｘ^2－３ｘ＋２＝０と
３と４を解に持つ方程式　ｘ^2－７ｘ＋12＝０を
ｘ^2－３ｘ＋２＝ｘ^2－７ｘ＋12　として解けばわかるように
ｘ＝５/２となって、これは違う方程式を考えていることに
なってしまいます。

この問題の場合は１つの共通解があるから結果としては
ｘ＝ｍが出るのですが、やはり表記上、違う方程式を組み立てた
ことになってしまうので、共通解を決めてからスタート
しなければなりません。

お礼

debutさん
ありがとうございました。

回答No.3

at9_am

何も考えずに手を動かすだけでも解ける問題なのですが・・・。

f(x) = x^2-(m+1)x-m^2 ...(1)
g(x) = x^2-2mx-m ...(2)

とおくと、ただ一つの共通解を持つから、b≠c とすれば
f(x) = (x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x + ab
g(x) = (x-a)(x-c) = x^2 - (a+c)x + ac
とかけるので、係数比較から
a+b = m+1
ab = -m^2
a+c = 2m
ac = -m
の４本の連立方程式を解けばよい。

代入して整理すると m=a が出てきて、そこから m=a=-1 を求めることが出来る。

お礼

at9_amさん
ありがとうございました。

とても参考になりました。

回答No.2

tono-todo

教科書にある代表例に見えるが？？
多分、教科書見てないね、この人は。

共通解がキーワード
共通解なら、二式の一次結合も同じ共通解を持つ。
二式を引き、ｘ＾２の項をなくすと、一次方程式。
共通解があるなら、この一次方程式の解。
以下略

終わり

お礼

tono-todoさん
ありがとうございました。

参考になりました！

回答No.1

koko_u_

>いったいどのように解いたらよいのかわかりません。
ただの連立方程式です。

お礼

koko_u_さん
ありがとうございました。