二次方程式・共通解

質問

x^-(m+1)x-m^=0とx^-2mx-m=0の共通解（共通解はひとつ）を求めよ、という問題ですが、共通解をαと置き、m=1かm=αというところまでは出せました。また、m=1のとき、どっちの式に代入しても解が二つになるのでダメというところまではできました。
しかし、m=αのときが分かりません。x^-2mx-m=0の共通解はαですから、前もってαを代入しておいたα^-2mα-m＝0にmを代入しm^-2m^-m=0となる、と書いてあるのです。でもx^-(m+1)x-m^=0にαを代入した
α^-(m+1)α-m^=0にmを代入してはいけないのでしょうか。計算結果が同じになるはず？なのですが、違ってしまいます。

回答No.4

aco_michy · ベストアンサー

m=1 or m=α
が出ていて、
m=1の時はだめだということですよね。

では、m=α、逆に言うとα=m
のとき、２つの式は

m^2-2m^2-m=0
-m^2-m=0
-m(m+1)=0
m=0,m=-1

α^2-(m+1)α-m^2=0にmを代入
m^2-(m+1)m-m^2=0
m^2-m^2-m-m^2=0
-m^2-m=0
-m(m+1)=0
m=0,m=-1

でどちらも同じになると思いますが・・・
因みにm=0のときは、共通解はひとつという条件を満たしませんので、
m=-1
つまり、共通解α=-1

になります。

お礼

どうもありがとうございました。プリントに書いてあった通りにやってできなかったので質問したのですが、計算ミスでした。すみませんでした。

回答No.3

sanori

ｘ^とかｍ^とかって、ｘやｍの２乗ですか？
（だとすれば、ｘ^2、ｍ^2 と書かないと・・・）

解と係数の関係により、
１個目の２つの解をα、β
２個目の２つの解をα、γ
と置けば、
Ａ　α＋β＝ｍ＋１
Ｂ　αβ＝－ｍ^2
Ｃ　α＋γ＝２ｍ
Ｄ　αγ＝－ｍ

Ｂ÷Ｃより　β／γ＝ｍ　→　β＝γｍ
（ただし、後で結果を出す直前に、γ≠０を確認要。もしも駄目だったら、βやｍの方が分母にくるようにすればＯＫ。）

これをＡ、Ｂに代入
Ａ’　α＋γｍ＝ｍ＋１
Ｂ’　αｍγ^2＝－ｍ^2
これでβが消去できました。

次に、γを消去。
Ｃより　γ＝２ｍ－α

たぶん、こんな感じで解くのだと思いますが・・・。

お礼

少し違った解法をありがとうございました。参考になりました。

回答No.2

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

まず、m = 1 か m = α ということ自体が、
x^2 - (m + 1)x - m = 0 （ですよね？）から出ています。つまり、この式に代入しても何も新しい情報は得られないということです。
たとえば、m = 3 のとき、この式からは、α = 3 が得られて、この式を満たしますが、「共通解」にはなりません。
相手の方程式の情報がないからです。
ここまでで得られていることは、この方程式の解は、x = 1 または、x = m であるということだけです。
いずれかが共通解であることと、その値を求めるためには、他方の式に代入してみなければわかりません。

お礼

ありがとうございました。他方の式に代入ですね。

回答No.1

matherlake

どちらの式で計算しても、ｍ＝０、－１となると思いますが・・・。

お礼

計算ミスでした。わざわざありがとうございました。