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方程式
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No.1です。No.2さんが丁寧に回答されているので、蛇足ですが。 >アのグラフがよくわかりません。 >b=a^2+1 >はわかるのですが、≦がついてると内側か外側かわかりません。 >基礎的な質問ですいません。 No.2さんのように、一般的には座標(点)を入れて確認すると判りますが(特に空間図形の場合はそうした方がいい)、この場合は、以下のようにして判ります。 式は、b≦a^2+1である。 ↓ この式は、「bはa^2+1以下である」という意味である。 ↓ 「以下」ということは、座標平面で言うと、「下の方」ということである。 ↓ ということは、「bはa^2+1の下の方」なので、曲線a^2+1の下の方ということになる。 (注:この場合はグラフの線上も含まれます。) また、 >(4)の図が(5)の図に入り込むからこのようなことがいえるのですか? まさにその通りです。 この辺の感覚が身に付くと解ける問題が増えますよ。
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- hinebot
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#2です。 >逆です。(5)の図の全てが(4)の図に入り込んでいる(含まれている)から、このようなことが言えます。 確かに逆でしたね。混乱させてすみません。 ちょっと蛇足です。 >(i)(ii)より、-1≦b≦1のとき、すなわちa^2+b^2≦1のとき 念のためですが、-1≦b≦1 と a^2+b^2≦1 は同値ではありません。 つまり、 a^2+b^2≦1 ⇒ -1≦b≦1 は成り立ちますが、逆の -1≦b≦1 ⇒ a^2+b^2≦1 は必ずしも成り立ちません。(-1≦b≦1はa^2+b^2≦1の必要条件ですが、十分条件ではありません。) では、なぜ、「-1≦b≦1のとき、すなわちa^2+b^2≦1のとき」と表すことができるか? これは、 A⇒B、B⇒C のとき、A⇒C ということを使っています。 Aが「a^2+b^2≦1」、Bが「-1≦b≦1」、Cが「a^2 - b + 1≧0」になります。
- springside
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No.1です。訂正です。 >>(4)の図が(5)の図に入り込むからこのようなことがいえるのですか? 逆です。(5)の図の全てが(4)の図に入り込んでいる(含まれている)から、このようなことが言えます。
- hinebot
- ベストアンサー率37% (1123/2963)
>b=a^2+1 >はわかるのですが、≦がついてると内側か外側かわかりません。 そういうときは、内側(または外側)にあたる座標(計算が簡単なのでよい)を式に代入して成り立つかどうか確認してみましょう。 成り立つならその点を含む側、成り立たないならその点を含まない側ということになります。 例えば、原点(0,0)を代入すると、 b≦a^2+1 0<0^2+1=1 で成り立ちますから、b≦a^2+1 は、放物線を境界に、原点(0,0)がある方ということが分かります。 >(4)の図が(5)の図に入り込むからこのようなことがいえるのですか? そういうことですね。 なお、アについてはグラフを使わずに示すこともできます。 (1)が実数解をもつための条件は、 (1)の判別式≧0 ⇔ a^2 - b + 1≧0 …(2) 条件 a^2+b^2≦1 を変形すると a^2≦1-b^2=-(b^2-1)=-(b+1)(b-1) aは実数なので、a^2≧0 より、 -(b+1)(b-1)≧0 すなわち、(b+1)(b-1)≦0 よって、-1≦b≦1 ここで、-1≦b<0 と0≦b≦1 で場合分け。 (i)-1≦b<0のとき a^2≧0 -b+1>0 (∵ -b>0)より、a^2-b+1>0 となり(2)式は成り立つ。 (ii)0≦b≦1のとき a^2≧0[等号は a=0 のとき成立] -b+1≧0[等号はb=1のとき成立](∵ b≦1)より、a^2-b+1≧0 となり(2)式は成り立つ。 (i)(ii)より、-1≦b≦1のとき、すなわちa^2+b^2≦1のとき、(2)式は成り立つ。 等号は、a=0,b=1のときに成立する。
- springside
- ベストアンサー率41% (177/422)
ア (1)が実数解をもつための条件は、 (1)の判別式≧0 ⇔ a^2 - b + 1≧0 …(2) であり(2)を変形すると、 b≦a^2+1…(3) である。この(3)は、(a,b)平面において、 頂点(0,1)の下に凸の放物線の下部又は線上の点…(4) である。 一方、a^2+b^2≦1は、(a,b)平面において、 原点を中心とする半径1の円の内部又は周上の点…(5) である。 (5)に含まれる点は全て(4)を満たす。(注:グラフを書いて下さい) すなわち、a^2+b^2≦1という条件の下では、b≦a^2+1は常に成り立つ。 したがって、(1)は実数解を持つ。 イ 解と係数の関係より、 β+1=-2a β=b-1 よって、 a=(β+1)/(-2) b=β+1 となる。 これをa^2+b^2≦1に代入すると、 (β+1)^2/4 + (β+1)^2 ≦ 1 であり、変形すると、 (β+1)^2 ≦ 4/5 -2/(√5)≦β+1≦2/(√5) -1-(2√5)/5≦β≦-1+(2√5)/5…答
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