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二次方程式

二つの二次方程式、x^2ー(a-2)x-9=0とx^2-x-3a=0がともに 実数解を持つようなaの値の範囲を求めよ。 またこれらの二次方程式が共通の実数解を持つようなaの値をすべて求めよ。 上記の問題の解き方が、まったくわかりません、解き方を教えてください。

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  • info222_
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設問1[二つの二次方程式、x^2-(a-2)x-9=0...(1) と x^2-x-3a=0 ...(2) がともに 実数解を持つようなaの値の範囲] 二つの二次方程式の2次の係数がともに1でゼロでないので、それぞれの判別式D1,D2が同時に≧0であれば良い。 (1)の判別式D1=(a-2)^2+4*9>0 常に成立。 (2)の判別式D2=1^2+4*3a=1+12a≧0 より a≧-1/12 まとめて ともに実数解を持つようなaの値の範囲:a≧-1/12  ...'(答) 設問2 [これらの二次方程式が共通の実数解を持つようなaの値] 共通の実数解が存在するとき(a≧-1/12 ... (3)のとき) 共通解は(2)-(1)より導出の  (a-3)x+9-3a=0 ...(4) に含まれる。 (4)より  (a-3)(x-3)=0  a=3, x=3 x=3のとき (1)に代入  9-3(a-2)-9=0  3a=6 ∴a=2 a=2を(1),(2)に代入  x^2-9=(x-3)(x+3)=0 ∴x=3, -3  x^2-x-6=(x+2)(x-3)=0 ∴x=3, -2 確かに 共通解x=3を1つ持ち(3)も満たすので a=2は適する。 a=3のとき (1)、(2)に代入  x^2-x-9=0 ∴x=(1±√37)/2  x^2-x-9=0 ∴x=(1±√37)/2 と2つの方程式は一致するので、2つ実数解はともに共通解 a=3は(3)も満たすので適する。 以上まとめて (答) a=2, 3

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質問者からのお礼

回答ありがとうございました。 細かく、丁寧に書いていただいて、本当に感謝です。 ありがとうございました。

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  • 回答No.2

実数解を持つ、これは方程式ax^2+bx+c=0の判別式b^2-4ac≧0ということです。二つの方程式に当てはめれば、各々のaの範囲が求まりますね?それらを複合して考えたものが、最終的に求めるaの範囲です。 また、共通の実数解については、x=((-b±√(b^2-4ac))/2aの式から、各々の方程式の解を二つ求め、それぞれa1,a2,b1,b2とすると、a1とb1が共通解の時、a1とb2,a2とb1,a2とb2の時の組み合わせで、求めればよい。 以上、解き方のみにしました。判別式と解の公式、これだけです。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 自分じゃ、見当がつかなかった解き方がすっきりわかりました。 詳しく回答していただき、ありがとうございました。

  • 回答No.1
  • gohtraw
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x^2ー(a-2)x-9=0 の判別式は (a-2)^2+36であり、これは常に正です。 よってこの二次方程式は常に実数解を持ちます。 x^2-x-3a=0 の判別式は 1+12aであり、これをゼロ以上とすると 1+12a>=0 a>=-1/12 以上よりa>=-1/12 x^2ー(a-2)x-9=x^2-x-3a とおくと 3a-9=(a-3)x x=3 これをx^2ー(a-2)x-9 に代入して式の値がゼロに なればいいので、 (a-2)*3=0 a=2 また、二つの二次方程式が全く同じであれば両者は共通の 実数解をもつので、両者の係数を比較して a-2=1 3a=9 より a=3 以上よりa=2または3のとき両者は共通の実数解を持つ。 

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