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2次方程式の実数解の符号
2次方程式a+x2(←二乗)+bx+c=0の2つの解α,βと判別式Dについて、 α,βは異なる2つの正の解⇔D>0でα+β>0かつαβ>0 α,βは異なる2つの負の解⇔D>0でα+β<0かつαβ>0 α,βは符号の異なる解⇔αβ<0 となるとき、なぜ2つともD>0となるのか分かりません。 あと、α,βは符号の異なる解の時D>0を書かないのはなぜですか?分かる方、宜しくお願いします(;_;)
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まず,2 次方程式 ax^2 + bx + c = 0 (a は 0 でない)の判別式について考えます。 D = b^2 -4ac 2 次方程式が解 x = p,q をもてば,最初の式は (x - p)(x - q) = 0 と因数分解されます。p,q が実数である条件は,判別式より, D > 0 です。かつ,p,q がともに正ならば,p + q > 0,pq > 0,これは明らかです。ともに負ならば,p + q < 0,pq > 0,これも明らかです。 問題は,p,q が異符号のときです。p + q の符号はわかりません。しかし,pq < 0 です。ここで, (x - p)(x - q) = x^2 - (p + q)x + pq・x = 0 となります。これと最初の式を照らし合わせると, (p + q) = -b / a pq = c / a です,ここで,pq < 0 ですから,a と c は異符号であることに注意してください。そこで,もう一度判別式に戻ると, D = b^2 - 4ac a と c は異符号ですから,ac < 0 になります。b^2 ≧ 0 ですから,D > 0 は自動的に満たされます。ですから,D > 0 の条件はなくてもよいのです。
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#4です。補足の質問に回答します。 2次方程式の解α、βは 両方とも実数解または両方とも虚数解であり、 片方が実数で片方が虚数になることは無い。 これは証明を後述します。 ここで重要なのはD<0の時αとβの虚数部分は大きさが同じで符号が反対ということです。これを共役複素数の関係といいます。これを応用して、αβ、α+βが実数になることを証明したのが#4です。 証明: 2次方程式の解の公式 x={-b±√(b^2-4ac)}/(2a) ここで簡単のため -b/(2a)=p √(b^2-4ac)/(2a)=q とおくと x=p±q pは常に実数 qは 実数(D≧0のとき) 虚数(D<0のとき) (1)D≧0のとき qは実数になるので解x=p+q、p-qいずれも実数 (2)D<0のとき qは虚数になるのでq=ri (r:実数、r≠0)とおける x=p+ri、p-ri いずれも虚数 以上(1)、(2)より2次方程式の解は全部実数または全部虚数のいずれかであり、片方だけ虚数になることはない。
お礼
ありがとうございました☆これからも宜しくお願いします♪
- elttac
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回答 No. 2,3 をお付けしたものです。 まず,この問題の大大前提として,「実係数の 2 次方程式」 ax^2 + bx + c = 0 (a は 0 でない)を言っています。そうでないと,大小比較ができないので問題自体がナンセンスになります。簡単のため,x^2 の係数が 1 である, x^2 + bx + c = 0 を考えましょう。b / a,c / a を新たに b,c と置きなおしました。この解は,x の正の平方根を sqrt(x) として, x = {-b ± sqrt(b^2 - 4c)} / 2 です。判別式 D は,この根号の中で,これが正数のときに解が実数であることはご説明しました。 それで,虚数解のとき(D < 0)ですが,このときの解は,虚数単位を i として, x = {-b ± i・sqrt(4c - b^2)} / 2 です。この 2 つの解を加えると,一方の解は虚数部分が正,他方は負です。ですから,加えると虚数部分は相殺されて,実数しか残りません。また,積については,次の式 (p + qi)(p - qi) = p^2 + q^2 を考えると,2 次方程式の解はこの形をしていますから,積も実数 c になります。 これは,実係数 2 次方程式の解が x = (実数部分) ± (虚数部分) で出てくる性質によっています。もし,実係数でない 2 次方程式では 2 つの解の和・積は実数になるとは限りません。 一般に,2 次方程式(実係数とは限らない) x^2 + bx + c = 0 の解 p,q について,解と係数の関係 p + q = -b pq = c が成り立ちます。このことは,回答 No. 2 でも触れました。係数が実数であれば,解の和と積はもとの方程式の係数に跳ね返ってくるので,実数,となります。 係数が実数でなければ,解が出たところで,和と積はその「実数でない」もとの方程式の係数になります。
お礼
ありがとうございます☆おかげでこの間のテストできました!!
なんだ間違ってるじゃん!!と思ってたら、 この式、か~なり考えて作ってますよ。当然D<0つまり複素数まで考えた上で記述してあります。 説明がややこしいので結論だけ先に言うと、 (1)上2つの式でD>0が必要な理由は「正の」解、「負の」解とあるから (2)3つめの式でD>0が不要な理由は、αβ<0と宣言した時点ですでにD>0と言ったに等しいから書く必要がない (1)について 二つの式の左辺で正の解とか負の解というからには、α、β>0とかα、β<0ですが、複素数の場合は<>等の大小関係は成立しません。定理があります。授業で証明もすると思います。つまり左辺で0より大きいか小さいかの指定を書いた時点で「実数解である」と言ったに等しいのです。 だから右辺でも「実数解である」と書く必要があります。つまりD≧0が必要です。しかも「異なる」なのでD>0です。 ここで問題になるのは、 「右辺でD>0をわざわざ書く必要があるの?α+β>0、αβ>0と書いた時点でD>0が成立しないのか?」 という疑問です。答えはNoです。成立しません。α+β>0、αβ>0でもD<0になる場合はあります。 そもそもα、βが実数だろうが虚数だろうがα+βとαβは必ず実数になります。計算してみてください。α+β>0、αβ>0であったとしてもD>0とは限りません。 (2)について 左辺でα、βは「符号が異なる」と書いてあるのでやはり実数解を持つ(D>0)と言ってます。従って右辺でもD>0である必要があります。しかし右辺ではαβ<0とあるだけです。どういうことでしょう?実は仮にα、βが虚数と仮定するとαβは実数となりαβ>0です。αβ<0にはなりません(下記に証明する)。つまりαβ<0と書いた時点で解は実数すなわちD>0です。改めて書く必要がありません。 2次方程式の2つの虚数解がα、βである時、αβ>0 証明: α、βは互いに共役複素数なので以下のように表現出来る。 α=a+ib β=a-ib (a,bは実数、b≠0)・・b=0だと実数になってしまう αβ=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2>0 ここで面白いのはα、βが虚数であってもαβは実数になる点です。α+βも実数になります。
お礼
ありがとうございました!! 少し不明な点がございましたので、補足の方に質問を付け加えさせていただきました。そちらの回答の方も宜しくお願いします。
補足
虚数の場合でもα+β,αβを計算すると必ず実数になるのはなぜですか?片方が虚数の場合は実数にならない気がします(>_<) 初歩的な質問ですみません。よく分からないので、宜しかったら説明お願いします。
- elttac
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No. 2 の回答をお付けした者です。 ミスの修正と,追記です。 判別式 D = b^2 - 4ac は,D > 0 のとき【異なる 2 個の】実数解を持ち,D = 0 では見かけ上 1 個の解(重解)になります。 なぜ,D > 0 かというと,2 次方程式の解の公式を思い出してください。この「b^2 - 4ac」は根号の中に出てきます。根号の中が負だと実数として存在しない数(=虚数)になるのです。ですから,2 次方程式の解を実数とするには,根号の中身(=判別式)を正にする必要があるのです。
- h_i_r_o_b_o_w
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おそらくこの問題では、必ず解があるというのが前提条件になっていると思います。 つまりD<0の虚数解は考えない。 ただし、実数解でも (X-P)^2=0 のような場合はX=Pという解が二つあるという事なのでしょう。 さて、質問の回答ですが、 Q1)なぜ二つともD>0なのか? A1)これはD=0だと異なる二つとはならず、同じ解になります。 Q2)なぜ符合の異なる時はD>0を書かないのか? A2)符号が異なる時はかならず異なる二つの解が存在する事になるので、D=0の同じ解になるという条件は書かなくても良い。
お礼
ありがとうございました♪ 今後も宜しくお願いします。
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丁寧な解説、ありがとうございました!!あさって数学のテストなんでがんばります☆ 今後も良い回答宜しくお願いします。