実数解がとりうる値の範囲

質問

0<a<2の範囲で、xについての方程式A：x^2-2ax-2x+2a^2-6=0の実数解がとりうる値の範囲を求めよ。

という問題なんですが、解き方がいまいちわかりません。
ヒントには「解と係数の関係を利用し図形的に解く」や別解として「aの方程式とみる」とありました。

前者はまったくわからず膠着状態、後者はそうした場合その方程式が何を表してるのかわからず苦戦してます。

傲慢ですが、できれば両方の方法を教えてほしいです。
よろしくおねがいします。

回答No.6

take_5 · ベストアンサー

＞「0<a<2の範囲でx^2-2ax-2x+2a^2-6=0が実数解をとりうる⇔f(a)の解が0<a<2の範囲内で存在する」　なんですか？方程式がイマイチわからないんで^^;

これは私の想像ですが、貴方はxといえば変数で、aは定数という固定観念がありませんか？
0<x<2の範囲で、xについての方程式A：x^2-2ax-2x+2a^2-6＝0が実数解を持つためのaの条件を求めよ、という問題の経験は無いですか？
きっと、それならわかるでしょう？

この問題は、xとaを逆転させた、その錯覚に陥り易い問題です。
つまり、この問題でのこの方法は、0＜a＜2のとき、2a^2-2xa＋（x^2-2x-6）＝0が実数解を持つためのxの条件を求めよ、という問題なんです。

では、ＮＯ4さんの解のどこが不備か？
解が2つある場合と1つの場合があります。f（a）＝2a^2－2xa＋x^2-2x-6＝0とします。
重解を含めて、解が2つある場合は、判別式≧0、f（2）＞0、f（0）＞0、0＜軸＜2で問題ないです。

問題は、解がひとつの場合aの両端を別に考える必要があるという事です。従って、その場合はf（2）*f（0）＜0であるというのは間違いです。2と0の場合は初めから除外されているじゃないか、という反論が聞こえそうですが、aが点a＝2、or、0を通る場合はどうなりますか？

結論を言います。
解がひとつの場合の場合分けは3つです。
0＜a＜2の範囲にある解をα、他の解をβとすると
(1)0＜α＜2、β＜0、or、β＞2.
(2)0＜α＜2、β＝0.
(3)0＜α＜2、β＝2.　となります。(2)と(3)の場合が欠落しています。

この問題ではわかりにくいと思うので、簡単な例題を作ってみました。
確認してください。

xの方程式x＾2-ax＋b＝0の1つの解が0＜x＜1にあり、他の解がこの範囲にないときのaとbの条件を求めよ。

お礼

大変よくわかりました。ほんとにありがとうございます！
ちなみに(2)0＜α＜2、β＝0と(3)0＜α＜2、β＝2ってでてくる条件同じですよね？
要するにf(0)f(2)=0の場合もあるって解釈したんですがあってますでしょうか？汗

早速例題やらせてもらいました。
答えだけ書くと　b(2-a-b)≦0かつa^2>4bとなりました。
あってるか不安です^^;

回答No.7

take_5

＞ちなみに(2)0＜α＜2、β＝0と(3)0＜α＜2、β＝2ってでてくる条件同じですよね？

どこが同じなんだ。冗談がきつい。

＞要するにf(0)f(2)=0の場合もあるって解釈したんですがあってますでしょうか？汗

間違いです。

＞早速例題やらせてもらいました。
＞答えだけ書くと　b(2-a-b)≦0かつa^2>4bとなりました。
＞あってるか不安です^^;

全然駄目です。

f（x）＝x＾2-ax＋b＝0とする。
(1)x＝0の時、f（0）＝0よりb＝0.従って、この方程式は　x（x-a）＝0であるから、0＜a＜1.
(2)x＝1の時、f（1）＝0よりb＝a-1.従って、この方程式は　（x-1）*（x-a+1）＝0であるから、0＜a-1＜1.
(3)f（0）*f（1）＜0より　b（b-a+1）＜0.

以上、(1)～(3)までが答え。

ＮＯ４さんの間違いは、大抵の人が陥っている間違いです。
0≦a≦2ならよかったのですが。。。。。。。笑

お礼

なるほど、今度こそわかりました！
f（0）*f（1）＜0までもが違ってたんで確認してみたら
f(x)を書き間違えてました^^;
長らくお付き合いいただきほんとに感謝してます。
ありがとうございました。

回答No.5

take_5

＞αβ=・・・の条件は考慮しなくてもいいんでしょうか？

α＋βとαβのどちらを考えてもいいんですが、αβは双曲線になり考えにくいです。

＞「0<a<2の範囲でx^2-2ax-2x+2a^2-6=0が実数解をとりうる⇔f(a)の解が0<a<2の範囲内で存在する」　なんですか？方程式がイマイチわからないんで^^;

ＮＯ4さんの解に一部不備（不完全）があります。それについては、今は時間が無いのであとから書き込みます。

お礼

どちらかを考えればいいんですね。
わかりました。やってみます！

回答No.4

age_momo

#1さんに賛成です。解説にとらわれずにあがいてみるべきでしょう。
この問題なら解の公式から

x=(a+1)±√(-a^2+2a+7)

ですから、0<a<2でそれぞれ(±)の最大最小を出しても解けると思います。
結局、a=0,1,2でのそれぞれの値を比較するだけですから。
(厳密性は欠けるので微分を使わないと減点かもしれませんが、
解を得ることだけはできます）

一応、二つ目の方法も書いておきます。

f(a)=2a^2-2xa+x^2-2x-6

とするとf(a)=0の解が0<a<2の範囲内で存在するためには

f(0)*f(2)<0　　
もしくは
D≧0 　かつ　f(0)>0　かつ　f(2)>0　かつ　0<x/2<2

のいずれかを満足するxの範囲を考えてください。
理由はa ,f(a)のグラフで考えてみてください。
最初のはこの範囲で一解を持つ条件、二つ目は
二解(重解を含む)を持つ条件です。

お礼

なるほど！解の公式がありましたね！
早速やってみます。

「0<a<2の範囲でx^2-2ax-2x+2a^2-6=0が実数解をとりうる⇔f(a)の解が0<a<2の範囲内で存在する」　
なんですか？
方程式がイマイチわからないんで^^;

回答No.3

take_5

＞この円と直線：α＋β＝2（a＋1）が0<a<2の範囲で交点を持つときこうするのか教えていただけたら幸いです。

aに条件がなければ、αとβは円：（α-2）＾2＋（β-2）＾2＝20の全ての円周上にある。
ところが、0＜2a＜4という条件から、2a＝α＋β-2であるから、0＜2a＜4に代入して、0＜α＋β-2＜4となる。

お礼

要するに二つの条件式を同時に満たす点を探せってことですよね？
だとすると、αβ=・・・の条件は考慮しなくてもいいんでしょうか？
それともαβ=・・・と（α-2）＾2＋（β-2）＾2＝20は同義の方程式だと
認識すればいいのでしょうか？

再三質問してしまい申し訳ないです。

回答No.2

take_5

＞「aの方程式とみる」

2a^2－2xa＋x^2-2x-6＝0が0<a<2のの範囲に少なくても1つの解をもつ条件して求める。

＞「解と係数の関係を利用し図形的に解く」

2つの解をα、βとするとα＋β＝2（a＋1）、αβ＝2a^2-6からaを消去すると（α-2）＾2＋（β-2）＾2＝20となる。
この円と直線：α＋β＝2（a＋1）が0<a<2の範囲で交点を持つときの、αとβの値の範囲を求める。

実際の計算は自分でやってね。

お礼

回答していただきありがとうございます。
もしよかったらどうして
＞この円と直線：α＋β＝2（a＋1）が0<a<2の範囲で交点を持つとき
こうするのか教えていただけたら幸いです。

回答No.1

koko_u_

そのまま方程式を解いて、解として得られた式を a の関数と思えばいいんじゃないの？

いろいろテクニックはあるでしょうが、まずは直接的な方法に訴えるのが学習上はよいです。

お礼

根本的にわかってないのにテクニックばっかり身に着けてもしょうがないですもんね。
とりあえず、必死にもがいてみます。