“少なくとも”という条件つきの解の範囲

質問

“Xの方程式 ４X^2－８aX＋a＝０が、次の条件を満たすように定数aの値の範囲を求めよ。条件：０＜X＜１において少なくとも１つの解をもつ。”
という問題です。
場合わけで考えるやり方で解くことはできました。そこで、「実数解をもつ場合」から「０＜X＜１に解がない場合」を除いてaの範囲を求めるやり方は、この問題で可能でしょうか？どうも「０＜X＜１に解がない場合」の条件が確定できません。
宜しくお願いします。

回答No.2

tarame · ベストアンサー

「実数解をもつ」かつ「０＜X＜１に解がない」は
(1)２つとも０以下
(2)２つとも１以上
(3)０以下と１以上に１つずつ　に場合わけすればよいのでは？

f(x)＝4x^2-8ax+a　とおくと
(1) f(a)≦0 かつ a≦0(軸) かつ f(0)≧0
(2) f(a)≦0 かつ 1≦a(軸) かつ f(1)≧0
(3) f(0)≦0 かつ f(1)≦0

お礼

回答ありがとうございます。参考になりました。
返事が遅れてすみませんでした

回答No.3

noname#47975

＞そこで、「実数解をもつ場合」から「０＜X＜１に解がない場合」を除いてaの範囲を求めるやり方は、この問題で可能でしょうか？

少々違います。
「実数解を持ち、かつ０＜ｘ＜１に少なくとも１つの解を持つ」場合
、「実数解を持たない、または実数解を持つが０＜ｘ＜１の範囲には解は存在しない」場合を除いたaの範囲を考えなければなりません。

なぜなら、aの値によって二次方程式は下記のＡ～Ｃのうちいずれかに属す
わけですが、

Ａ「実数解を持たない」
Ｂ「実数解を持ち、0 < x < 1の範囲には解が存在しない」
Ｃ「実数解を持ち、0 < x < 1の範囲に少なくとも１つの解が存在する」

Ｂを満たすaの範囲以外では、Ａ,Ｃのいずれかに属する範囲であり、ここから、さらに、Ａに属するaの範囲を取り除かなければならないからです。

すなわち、

(1)実数解を持たないaの範囲
(2)実数解を持つが、0<x<1に解を持たないaの範囲

(1)(2)を満たすaの範囲を除いたaの範囲が題意を満たすaの範囲になります。

＞「０＜X＜１に解がない場合」の条件が確定できません

（１）実数解を持ち、0≦Ｘの範囲に２つの解（重解も含む）を持つ

判別式≧０　かつ　軸≧0かつf(0)≧0

（２）実数解を持ち、１≦Ｘの範囲に２つの解（重解も含む）を持つ

判別式≧０　かつ　軸≧１かつf(1)≧０

（３）実数解を持ち、０≦Ｘの範囲に１つの解を持ち、さらに１≦Ｘの範囲
に１つの解を持つ

　判別式≧０ かつ f(０)≦０かつf(１)≦０

注）この場合、判別式≧０はあってもなくても結果は同じ．．。

以上より、（１）または（２）または（３）を満たすaの範囲を求めれば良い
事になります。
さらに、実数解を持たないaの範囲を含め、それを除いたaの範囲を求める事により、題意を満たすaの範囲が求まります。

お礼

細かい回答ありがとうございます。参考になりました。
返事が遅れてすみません。

回答No.1

repobi

場合わけで解くというのは、f(0)>0かつf(1)<0みたいな感じですかね？
それでいいと思いますよ。
余事象で考えるなら、
「重解をもち、解がx<0」
「重解をもち、解が1<x」
「f(0)>0かつa<0(頂点のx座標が0より小さい)で、f(a)<0」←解が２つとも0より小さい
「f(1)>0かつa>1(頂点のx座標が1より大きい)で、f(a)<0」←解が２つとも1より大きい
「f(0)<0かつf(1)<0」←解が0より小さいものと1より大きいものの２つ

これら５つの条件が実数解をもちながら0<x<1に解がない場合だと思います。
こっちだと若干面倒な気がします。。。

ごめんなさい、自信はありません。

補足

回答ありがとうございます。参考になりました。
返事がおくれてすいません。