2次不等式の解から係数決定 : a<0って要る？

質問

2次不等式 ax^2 + bx + 4 > 0 の解が -1/2 < x < 4 であるとき、定数 a, b の値を求めよ。
・・・という、2次不等式の解から係数決定の問題について質問です。
まず、本に載っている解答を書きます。

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題意を満たすための条件は、2次関数 y = ax^2 + bx + 4 のグラフが、-1/2 < x < 4 の範囲でx軸より上側であることである。
すなわち、このグラフが上に凸の放物線で、2点(-1/2, 0), (4, 0) を通ることである。したがって、
a < 0 ・・・(1)
a(-1/2)^2 + b(-1/2) + 4 = 0 ・・・(2)
a・4^2 + b・4 + 4 + 0 ・・・(3)

(2)から
a - 2b + 16 = 0
(3)から
4a + b + 1 = 0
この2式を連立して解くと、
a = -2, b = 7
これは(1)を満たす。■
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自分の場合、いきなりax^2 + bx + 4 > 0 のxに -1/2 と 4 を代入して、連立不等式を作って解き、a = -2, b = 7 を得ました。
正直な話、上に凸か下に凸かなんて、まったく考えていませんでした。考えなくとも、式どおりに代入すれば、自ずと出てくるでしょうに・・・。

ということで、この問題に「 a < 0 ・・・(1) 」の条件って本当に必要ですか？
もし必要であるならば、「 a < 0 ・・・(1) 」の条件がなかった場合に起こりうる誤解答を教えてください。
この問題を少々改変しても構いません。では、よろしくお願いします。

回答No.7

tmpname · ベストアンサー

ではあなたは、この問題が

2次不等式 ax^2 + bx - 4 > 0 の解が -1/2 < x < 4 であるとき、定数 a, b の値を求めよ。

という問題であったなら、どう解答しますか？

お礼

ありがとうございます！
私が欲しかった「具体的な例」とは正にこれです！

私が最初にやったようにそのまま代入すると、答えは 2x^2-7x-4 > 0 になり、前提条件である -1/2 < x < 4 の範囲が逆にすっぽり f(x) <= 0 になってしまいました。にもかかわらず、a<0の条件を課してないので、そのまま答えとしてまかり通ってしまいます。
この問題を解いてやっと

「題意を満たすための条件は、2次関数 y = ax^2 + bx - 4 のグラフが、-1/2 < x < 4 の範囲でx軸より上側であることである。
すなわち、このグラフが上に凸の放物線で、2点(-1/2, 0), (4, 0) を通ることである。したがって、
a < 0・・・(1)」

・・・というのが必要だと感じました。

自分でそういう問題を作ってみようと思ったのですが、自力では無理でした。+4 を -4 にするだけでよかったのですね。まったく思い付きませんでした。
回答を高く評価します。
ありがとうございました！

回答No.8

picknic

＃３です。3回目の登場です。

さすが理系板。
淡々と理を語るところが痛快でよいですね。
後で見返すとちょっと表現が冷たかったかなとも思ったりして。
でもここまで板が伸びたのは質問者さんの疑問点が"よい疑問"だったからだと思います。
その点は自信持ってよいと思います。

さて、
個人的には＃７さんの問いかけが全てを表してくれているような気がします。
＃７さんの問題を解いてみて、実際にグラフを書いてみてよく咀嚼して理解してください。

問題の範囲からすると質問者さんは高校数学を学習されている方と思います。
また良い疑問点が出てこの掲示板で質問して頂けると嬉しいです。

お礼

お付き合いくださってありがとうございました。
また疑問が湧いたら質問します。
そのときはまたよろしくお願いします。

回答No.6

picknic

#3です。

＞今回はcの部分が+4で固定されていますの
＞で、自然と符号と不等号の向きも固定されますよね？その固定された状態で、解が -1/2
＞< x < 4 であるならば、aとbは一意に決まりますよね？
（A)とします。

端点である-1/2と4を何の断りもなく代入した時点で、
あなたの解法では数学的に満点をとれないと言っています。

この"何の断りもなく"というのが重要で、
（A)なのでa<0
という1行を入れればいいのじゃないでしょうか。
（証明論的な話）

ちなみ（A)がa<0と言っているのと同義な気がします。
直接でないのであまり親切でないかもしれません。

私だったら
2点(-1/2, 0), (4, 0) と関数のy切片である(0,4)を通る二次関数は、上に凸であることが必要
つまりa<0
という説明から入りますね。

お礼

ありがとうございます。
No.7さんの出題で、ようやくa<0の条件の必要性を感じました。もし、あのような問題がこの世に存在しなかったとすれば、たとえ本で書くように強要されようと、絶対にa<0の条件は書かなかったと思います。
（そういう問題はあるかもなぁと思いつつ、自分で見つけられなかったので質問しました。）

回答No.5

asuncion

＞この（ような）問題で「a>0となるような(a,b)の組合せ」が出る可能性はありますか？

今回の問題については、ないですよ。
ないですけれど、必要条件「だけ」あるいは十分条件「だけ」という一方通行の状態ではなく、
計算で求めた解が本当にその問題の正しい答えであるか、
という「必要十分条件」について考える必要があるのではないですか？と私は言っています。

お礼

ありがとうございます。
「これは社会に出てから必要になるから勉強しといた方がいい」というのと似ていますね。先生から耳にタコができるくらい言われましたが、必要性をまったく感じなかったので勉強しませんでした。(^^ゞ

今回の問題については、やっぱりそういう組み合わせは無かったんですね。納得です。

回答No.4

asuncion

＞今回はcの部分が+4で固定されていますので、自然と符号と不等号の向きも固定されますよね？

何をおっしゃっているのか、よくわからないです。
c=4
から言えることはただ一つ、その放物線が
(0,4)を通ることだけです。
上に凸か下に凸かなんてことは、わかりません。

お礼

ありがとうございます。
誤解されているようですね。その一つ前の文と繋げてお読みください。

「もし、今回の問題が「ax^2 + bx + "c" > 0 」の形であったならば、両辺に-1を掛けて、a, b, c の符号を全部逆にすることで「ax^2 + bx + "c" < 0 」と不等号を逆にすることが出来たかもしれません。ただ、今回はcの部分が+4で固定されていますので、・・・」

と続きます。
「不等号の向き ">" 」と「c=4」が固定であれば、という意味です。

回答No.3

picknic

A(-1/2, 0), B(4, 0)とします。

A,Bを通る2次方程式は2本考えられますよね。
上に凸なやつと、下に凸なやつです。

あなたの解法だと、
不等式を等式と思って方程式を解いていますがこれは必要条件です。
ax^2 + bx + 4 > 0 の話をしているのか
ax^2 + bx + 4 < 0 の話をしているのか
わからんのです。

なので出てきた答えの十分性を確認する必要があるのです。

お礼

ありがとうございます。
もし、今回の問題が「ax^2 + bx + "c" > 0 」の形であったならば、両辺に-1を掛けて、a, b, c の符号を全部逆にすることで「ax^2 + bx + "c" < 0 」と不等号を逆にすることが出来たかもしれません。ただ、今回はcの部分が+4で固定されていますので、自然と符号と不等号の向きも固定されますよね？その固定された状態で、解が -1/2 < x < 4 であるならば、aとbは一意に決まりますよね？一意に決まるならば、わざわざ確認する必要も無いですよね？

確かに、No.1さんの仰ったように、±5と答えが出たときに長さに負は無いので答えは+5、というようなことはします。ただ、今回は確認する意味が無いように思えます。どうでしょうか？

回答No.2

asuncion

なので、今回の場合、仮にa>0となるような(a,b)の組合せだけが出てきたら、
a<0
という条件を満たさないので「解なし」となるわけです。

お礼

ありがとうございます。
ただ、この（ような）問題で「a>0となるような(a,b)の組合せ」が出る可能性はありますか？
自分としましては、「a>0となるような(a,b)の組合せ」が出る場合というのは、問題文中の「2次不等式 ax^2 + bx + 4 > 0 の解が -1/2 < x < 4 であるとき」という前提条件が崩れる場合しかあり得ないのではないか、と思っています。
どうか「具体例で」お願いします。

回答No.1

asuncion

数学の問題って、方程式か何かを立てて解いたのはいいけれど、
その解が題意を満たさない、っていうケースがけっこうありますよね。

例えば、何かの長さを求めるために2次方程式か何かを立てて
2つの解（正の値と負の値）が求まったとき、「何かの長さが負になることはない」ので
正の値だけを答えとして採用する、というようなケースです。

今回の場合、式を立てて求めた解が本当に題意を満たしているかどうかは
a<0
を満足していないと絶対にダメです。