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☆ f(x)=6/sinx+sinx/x を 0<x<2π(xはπ/2、π、3/2πならず)の範囲での、   f'(x)は?また、f(x)の極大値、極小値、その時のxを求めよ。 ☆ f(x)=1/x+1/x^2-1/x^3の極小値は?またax^3-x^2-x+1=0の実数解の   個数が1個であるときの定数aの値の範囲を求めよ。 こんな問題なんですけど、f'(x)を求める段階で、とまどってます。 詳しく教えてください。お願いします!

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.4

#3です。 f(x)=6/sinx+sinx/cosxだったのですか。 どうりで解けないわけだ。 {f(x)/g(x)}'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{g(x)}^2 というのはわかるのですよね。 {6/sinx}'=-6{sinx}'/{sinx}^2=-6cosx/sin^2x {sinx/cosx}'={tanx}'=1/cos^2x あるいは {sinx/cosx}'={(sinx)'cosx-sinx(cosx)'}/(cosx)^2=(sin^2x+cos^2x)/cos^2x=1/cos^2x sin^2x+cos^2x=1は分かりますよね? よって f'(x)=-6cos/sin^x+1/cos^2x 通分して、 f'(x)=、(-6cos^3x+sin^2x)/(sin^2xcos^2x) f(x)が極大、極小となるのはf'(x)=0の時だから、 -6cos^3x+sin^2x=0となる。 -6cos^3x+1-cos^2x=0 6cos^3x+cos^2x-1=0 (2cosx-1)(3cos^2x+2cosx+1)=0 3cos^2x+2cosx+1>0より (2cosx-1)=0 cosx=1/2 よって x=π/3,5/3π 後は増減表を書いて下さい。 sin^4xが出てこない・・・。

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質問者からのお礼

おぉ~!なぜsin^4xが出てきたのか・・・ それは、sin^x+cos^2x=1としていなかった・・・ そのままsin^2xにsin^2xをかけていました! すいません!ありがとうございました☆

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その他の回答 (3)

  • 回答No.3

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質問者からの補足

1つめの問題間違えました・・・。 f(x)=6/sinx+sinx/cosxでした・・・。 そこでsin^4xが出てくるんです。 最終的な答えは、(-6cos^3x+sin^2x)/(sin^2xcos^2x) です。そこまでの過程を詳しく教えてください!

  • 回答No.2

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  • 回答No.1
noname#5277
noname#5277

分数形の関数の微分法についてはしていますか? d f(x) f'(x)g(x)-f(x)g'(x) --- ---- = -------------------- dx g(x) g(x)^2 となります。これを用いれば1つ目は簡単にできますよね。 2つ目も、(x^n)'=nx^(n-1)がすべての実数nで成り立つので微分はできると思います。 方程式の方は、a=・・・の形に変形し、グラフを書けば分かると思いますよ。

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質問者からの補足

公式はもちろんわかったうえでの質問です。 ですが、途中で、sin^4が出てくるんです・・・ そこがどうしたらよいやら・・・

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