微分 実数解の個数

質問

x^3+3x^2=aが異なる３個の実数解をもつとき、定数aの値の範囲を求めよといったような問題で
どうすれば解けるのかなどのプロセスは理解できるのですが
そもそものf(x)=aの実数解の個数が、y=f(x)のグラフと直線y=aの共有点の個数に等しいというのが分かりません
なぜグラフとの共有点の個数＝実数解なのか・・・おそらくグラフについての基本的なことが分かってないのだと思うのですが、その基本的なことがなんなのかが分かりません
お願いします

回答No.1

WiredLogic

f(x) = a に、x=αを代入したら、f(α) = a が成り立った、このとき、x=αを、方程式・f(x) = a の解といいます。

y = f(x), y = a の共有点の座標は、この２つを連立方程式とみて解けば出てきます。

一応、念のために書いておけば、

y = f(x) のグラフとは、その方程式が成り立つような(x,y)の組を、点の座標とみて、そういう点を集めたものなので、
点(β,γ)のx座標・y座標を、この２つの方程式に代入したら、γ = f(β)、γ = a が成り立ったときには、
(β,γ)は、y = f(x)上の点でもあり、y = a 上の点でもある、つまり、y = f(x), y=aの共有点だということであり、
同時に、２つの方程式を同時に満たす(x,y)の組でもあるので、連立方程式の解であるからです。

で、実際に解くときは、代入法で、f(x) = a を出して、xについての方程式を解いて、そのxの値を、yに代入してy座標を求めます。(この場合には、片方の方程式が、y=aなので、このプロセス不要ですが、原理としてはそういうこと)

で、この先に解く、xについての方程式が、元の方程式そのものなので、元の方程式と、２つのグラフの共有点のx座標は一致する。

で、共有点の個数＝実数解(虚数解は、グラフ上に現れないから)の個数、と言ってもいいのですが、一つ注意点が…

例えば、円・x^2+y^2 = 4 と 直線 x = 1 の共有点の個数は、２個ですが、２つの式を同時に満たすx座標は、x=1、一つです。

y=f(x)の形のときは、関数の定義から、１つのxの値に対して、yの値は１つに決まるので、共有点のx座標の数＝実数解の個数になり、多項式の微分の応用問題のように、それが保証されているときは、問題ないのですが、円のグラフ(xの値に対してyの値が大抵２個)や、x=1(ｙの値は無限に)などについて考えるときは、そうはいかないこともあるので、そこが注意点です。