Q:2x＾3-3(a+1)x＾2+6ax=0が異なる3つの実数解を持つ

質問

Q:2x＾3-3(a+1)x＾2+6ax=0が異なる3つの実数解を持つようなaの値の範囲を求めよ

異なる3つの実数解を持つには極値を持ち,(極大値)×(極小値)＜0が条件である。
を使って解説して下さい。A:a＜0,0＜a＜1/3,3＜a

誰か詳しい方,解説宜しくお願い致します。

回答No.1

OKXavier · ベストアンサー

細かな計算は自分でやって下さい。

f(x)=2x＾3-3(a+1)x＾2+6ax…(1)
とおくと、
f'(x)=6(x-a)(x-1)
f'(x)=0から、x=a,1
極大値と極小値をもつためには、a≠1…(2)

また、３つの実数解をもつための条件は、
f(a)f(1)<0　なので、これから
a^2(-a+3)(3a-1)<0…(3)

a=0は(1)から題意を満たさないので、
a≠0として、(3)から
(-a+3)(3a-1)<0…(4)

これを解いて、
∴　a<1/3,　3<a
これと(2)から、
a<0, 0<a<1/3, 3<a

回答No.2

noname#112109

f(x)＝2x^3－3(a＋1)x^2＋6axとおくと，f'(x)＝6x^2－6(a＋1)x＋6a
f(x)が異なる3つの実数解をもつには，まずf'(x)の判別式D＞0である必要がある。
したがってD/4＝{－3(a＋1)}^2－6・6a＝9(a^2＋2a＋1)－36a＝9a^2－18a＋9＞0
a^2－2a＋1＝(a－1)^2＞0　a≠1……(1)
また極値ではf'(x)＝0となるので，6x^2－6(a＋1)x＋6a＝0
x^2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0　x＝a,1
f(a)＝2a^3－3(a＋1)a^2＋6a^2＝－a^3＋3a^2＝－a^2(a－3)
f(1)＝2－3(a＋1)＋6a＝3a－1
f(x)が異なる3つの実数解をもつには，極大値×極小値＜0でなければならないので，
－a^2(a－3)(3a－1)＜0　a＜0,0＜a＜1/3,3＜a……(2)
求める範囲は(1)，(2)の共通部分なので，a＜0,0＜a＜1/3,3＜a……(答)