x^2+a｜x-1｜+b=0 が異なる２つの実数解をもつとき、

質問

x^2+a｜x-1｜+b=0 が異なる２つの実数解をもつとき、
（a,b）を図示せよ。

次のように考えましたが、正誤をご指摘ください。
与式は、x^2+ax-a+b=0,またはx^2-ax+a+b=0
実数解をもつから、a^2+4a-4b>0..(1),a^2-4a-4b>0..(2)
２つの実数解より求める条件は(1)かつ(2)でない、(1)でないかつ(2)
また、x^2+ax-a+b=0,とx^2-ax+a+b=0が共通解をもつときは、与式は２つの実数解
にならないから求める範囲は(1)かつ(2)でない、(1)でないかつ(2)の部分。

回答No.4

nag0720 · ベストアンサー

＃３の続きを

y=x^2　(0,0)は頂点とする下に凸の放物線
y=-a|x-1|-b　は(1,-b)を頂点とするV字形または逆V字形

-b＞1　のときは、(1,-b)は放物線の内側にあり、aがどんな値でも放物線と２点で交わる。

-b＝1　のときは、(1,-b)=(1,1)は放物線上にあり、そこでの放物線の傾きは２
　　2＜-a　なら放物線と３点で交わる。
　　-2＜-a≦2　なら放物線と２点で交わる。
　　-2≦-a　なら放物線と１点で交わる。

-b＜1　のときは、(1,-b)は放物線の外側にある。
　　点(1,-b)を通り放物線と接する直線の傾きは、2+2√(b+1)または2-2√(b+1)
　　　　2+2√(b+1)＜-a　なら放物線と４点で交わる。
　　　　-a＝2+2√(b+1)　なら放物線と３点で交わる。
　　　　2-2√(b+1)＜-a＜2+2√(b+1)　なら放物線と２点で交わる。
　　　　-a＝2-2√(b+1)　なら放物線と１点で交わる。
　　　　-a＜2-2√(b+1)　なら放物線とは交わらない。

以上から２点で交わる場合を抜き出して整理すれば求める領域が出てきます。

お礼

ありがとうございます
-bで場合分けすると、考えやすいようですが、
-b＜１のときが大変です。問題の式自体は簡単なようですが
よく整理してかからないといけないのだということがわかりました。

回答No.3

nag0720

図を描いてみたらどうですか。

x^2+a｜x-1｜+b=0
↓
x^2=-a｜x-1｜-b

y=x^2
y=-a｜x-1｜-b
として、２つの線を描いて交点が２つになる条件を求める。

y=-a｜x-1｜-b　は
a＜0のときは、(1,-b)を頂点とするV字型
a≧0のときは、(1,-b)を頂点とする逆V字型

bを変化させたとき、aがどんな値（傾き）であれば交点が２つできるかを考えてみれば答えが見えてくるのでは。

お礼

y=-a｜x-1｜-bを考えるとき、変数が２つあるので、条件に合う場合を
考えるのが私にはむずかしいところがあります。
いろいろなアドバイスありがとうございます。

回答No.2

nag0720

x^2+ax-a+b=0　は、x-1≧0という条件があります。
a^2+4a-4b>0が成立したからといっても必ずしも実数解が２つあるとは限りません。
（求めた解が1未満の場合は解にはならない）

x^2-ax+a+b=0
も同様です。

なので、
「２つの実数解より求める条件は(1)かつ(2)でない、(1)でないかつ(2)」
になるとは限りません。

「(1)かつ(2)でない」であったとしても、実数解が１個しかないかもしれないし、
「(1)かつ(2)」でも実数解が２個あるかもしれません。

a=0,b=-1の場合は、「(1)かつ(2)」ですが、実数解が２個（１と－１）あります。

補足

私の解法の方針は場合分けが煩雑でうまくないような気がします。
この方針での解法は捨てたほうがよいように思っています。
別解としてはどんなのがあるのでしようか。

回答No.1

Tacosan

絶対値をはずすところから既に間違ってる気がする.
また, 例えば a = 0, b = -1 は問題の条件を満たすのですが, あなたのようにしてこの値は得られますか?

補足

共通解をもつときは2つの実数解にならないと思いましたが
２つの式が一致するときは、条件をみたすので、a=0,b=-1が
でてきます。