2x＾3－3ax＾2＋5a＝0について

質問

Xについての方程式2x＾3－3ax＾2＋5a＝0・・・(1)が異なる3つの実数解をもつとき、(1)が2＜x＜3の範囲に少なくとも1つ実数解をもつようなaの値の範囲を定めよ。 という問題ですが分からないのでどなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

2x＾3－3ax＾2＋5a＝0　…(1)

y=f(x)=2x^3-3ax^2+5a　…(2)　とおくと
　y'=f'(x)=6x(x-a)　 …(3)
異なる3つの実数解をもつ条件は
　y'=0より x=0,a
　f(0)=5a, f(a)=a(5-a^2)　…(4)なので
f(0)f(a)=5(5-a^2)a^2<0 より
　∴a<-√5, a>√5
a＜-√5の場合
　(4)より
　極大値f(a)>0,極小値f(0)<0 なので(1)の解の２個は負、1個は正。
　この1個の正の解を調べるとf(0)=5a<0,f(2)=16-7a>0なので0<x<2の間に正の解がある。
　したがって、2<x<3を満たす解は存在しない。なのでこの場合は条件を満たさない。
a>√5の場合
(4)より
　極大値f(0)>0,極小値f(a)<0 なので(1)の解の1個は負、2個は正。
f(2)=16-7a),f(3)=2(27-11a),極小値f(a)=a(5-a^2)なので
√5<a<3の時　2<x<3を満たす解が存在するのは次の2通り。
　　f(2)>0かつf(3)>0
　　　すなわち √5<a<16/7であれば2<x<3を満たす異なる解が２つ存在する。
　　f(2)≦0かつf(3)>0、すなわち 16/7≦a＜27/11であれば
　　　2<x<3を満たす解が１つ存在する。
　　2つの場合をまとめると　√5<a<27/11　…(5)
　a≧3の時
(4)より f(2)<0,f(3)<0なので正の2つの解は2<x<3の範囲に存在しない。
　　この範囲のaは条件を満たさない。
以上をまとめると、条件を満たすaの範囲は(5)の範囲のみとなります。

お礼

大変分かりやすい回答ありがとうございました。これで深く理解する事ができました。ありがとうございました。

回答No.2

mister_moonlight

＞2＜x＜3の範囲に少なくとも1つ実数解をもつようなaの値の範囲

だから、実数解が1個か、2個か、3個か、分からない。
従って、1個、2個、3個　の各々の場合わけをして計算だけでも解けるだろうが、面倒だ。
こんな時、グラフという手があるが、3次関数と2次関数の交点として考えるのも面倒だから、数IIIの知識を使おう。

変形すると、3x＾2-5≠0　だから　a＝(2x＾3)/(3x＾2-5)となる。
そこで、y＝a と y＝(2x＾3)/(3x＾2-5)が“異なる3つの実数解を持ち、これが　2＜x＜3の範囲に少なくても1つの実数解を持つ”条件として求められる。
y＝(2x＾3)/(3x＾2-5)のグラフを書き、それとy＝a (x軸に平行な直線)が3つの交点を持ち、そのうちで“少なくても”1つが　2＜x＜3　にあるためのaの条件をグラフから読み取ればよい。

実際の計算は、自分でやって。

回答No.1

spring135

2x＾3－3ax＾2＋5a＝0 (1)

a=2x^3/(3x^2-5)

y=2x^3/(3x^2-5) (2)
y=a (3)

(1)の解を(2),(3)の交点と考える。

(2)のグラフが描けることが必要。
漸近線x=±√5/3に気を付けて微分して増減表を作り、
正しくグラフを描くこと

答え
√5<a<27/11/27