こんばんわよろしくお願いします。数Iの問題です。

質問

こんばんわよろしくお願いします。高一で分からない問題がありましたので質問させてください。

aを実数とする。xの方程式ax^2-4x+2a=0とx^2-2ax+2a^2-2a-3=0がある。２つの方程式がともに実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ。

また、aが整数である時、２つの方程式がともに少なくとも一つの正の実数解を持つようなaの値を求めよ。

一つ目は二つの式から0を消去して判別式D≧0で合ってると思うのですが、２つ目が全く分かりません。
教えていただけないでしょうか？

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

(1)　おわかりの通り、それぞれの判別式D≧0となるaの範囲の共通部分を導けばOKです。
　ax^2-4x+2a=0　・・・(A)　の判別式を4で割ったものをD'1とすると、
　　D'1=4-2a^2≧0　∴-√2≦a≦√2
　同様に　x^2-2ax+2a^2-2a-3=0 ・・・(B)　の判別式を4で割ったものをD'2とすると、
　　D'2=a^2-(2a^2-2a-3)=-(a-3)(a+1)≧0　∴-1≦a≦3
　両者の共通部分を求めて、
　　-1≦a≦√2

(2)　2つの方程式は実数解をもつので、(1)で得たaの範囲 -1≦a≦√2 がそのまま使えます。
　この範囲の中で、a が整数となるのは、　a=-1,0,1 の3ケースだけです。

　(a)　a=0 のときですが、最初の方程式(A)のx^2の係数が0になるので次のような1次式になります。
　　　　-4x=0　∴x=0
　　　この方程式は　x=0 の解しかもちませんので、正の実数解をもてず　不適　です。

　(b)　a=1 のとき　2つの方程式はそれぞれ次のようになり、正の解をもちます。
　　　　x^2-4x+2=0　∴x=2±√2　　　　　　　（正の2実解）
　　　　x^2-2x+3=(x-3)(x+1)=0　∴x=-1,3　（正と負の実解１つずつ）

　(c)　a=-1 のとき　２つの方程式はそれぞれ次のようになり、共に正の解をもてず　不適です。
　　　（どちらか片方が正の実解をもてないことを言えばそれでOKです。）
　　　　-x^2-4x-2=0　∴x=-2±√2　　　　　　（負の2実解）
　　　　x^2+2x+1=(x+1)^2=0　∴x=-1　　　　（負の2重解）

　以上をまとめると、2つの方程式が共に少なくとも1つの正の実数解をもつような整数ａは　a=1　だけとなります。

回答No.2

OKXavier

>一つ目は二つの式から0を消去して判別式D≧0で合ってると思うのです>が

>一つ目は二つの式から0を消去して
この意味が不明です。

>判別式D≧0で合ってると思うのですが
「それぞれの方程式のD≧0」で共通部分をとります。

但し、
>xの方程式ax^2-4x+2a=0
ですので、上式が２次方程式にならない場合も考慮する必要が
あります。a=0の場合は、別に検証する必要があります。