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数I 二次方程の範囲
「方程式x²－2ax＋2a²－5＝0が1より大きい相異なる2個の実数解を持つような定数aの値の範囲を求めよ。」という問題がありまして、［1］判別式について、［2］軸の位置について、［3］f(0)について、という順序で解いていくものです。 しかし私は［3］で止まってしまいました。どこか計算ミスをしているんだと思います。 私の回答は、 f(x)＝x²－2ax＋2a²－5とするとf(x)＝(x－a)²＋a²－5 二次方程式f(x)＝0が1より大きい相異なる2個の実数解を持つための条件は放物線y＝f(x)が1より大きいx軸の正の部分と異なる2点で交わることである。 ［1］f(x)＝0の判別式をDとするとD/4＝a²－(－5)＝a²＋5＞0これを解いてa＞±√5…(1) ［2］放物線y＝f(x)の軸は直線x＝aでこの軸についてa＞1…(2) ［3］f(0)＞1から－5＞1 で止まってしまいました。 一つ目の質問はまずどこでミスをしているのかを教えて下さい。 そして二つ目の質問は、この放物線は下に凸の放物線でf(x)＝x²－2ax＋2a²－5よりy軸に接する値は－5だと思うのですが、下に凸の放物線でy軸に接する値が－5だとしたら図を書くと「1より大きい相異なる2個の実数解をもつ～」という条件に反すると思うのですが、どうなんでしょう。 宜しくお願いします。
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- 178-tall
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>(1)f(x)＝0の判別式をDとするとD/4＝a^2－(－5)＝a^2＋5>0 これを解いてa<－√5、√5<a…(1) ↑ D/4 = -a^2+5 > 0 、これを解いて |a| < √5 … (1)' >(2)放物線y＝f(x)の軸は直線x＝aなので、この軸は1より大きいからa>1…(2) ↑ 仰しゃるとおり。 >(3)f(x)>0から1－2a＋2a^2－5>0よってa>2、a>5…(3) ↑ おそらく誤算。 f(1) > 0 から 1－2a＋2a^2－5 = 2(a-2)(a+1) > 0 。 よって a > 2 & a < -1 … (3)' >(1)(2)(3)の共通範囲を求めてa>5 ↑ (1)' (2) (3)'の共通範囲だとして、2 < a < √5 。 …となりそう。
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- shintaro-2
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＞［3］f(0)について、という順序で解いていくものです。 この理解が間違いです。 >［1］f(x)＝0の判別式をDとするとD/4＝a²－(－5)＝a²＋5＞0これを解いてa＞±√5…(1) ここで間違い a^2+5は、必ず正 ＞［2］放物線y＝f(x)の軸は直線x＝aでこの軸についてa＞1…(2) そんなことは求めてません。 グラフを描けば分かりますが、 X=aを軸とする2次関数です。 ２つの実数解を持つことは明らかで、 √（a^2+5)>0なので 小さい方の解a-√（a^2+5)＞１であることを保証するためには どんな条件が必要か求めなさいという問題です。
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