3次関数の微分の問題
- 3次関数の微分に関する問題の解説がありません。困っています。
- 3次関数f(x)が0＜x＜1で極値を持たないための条件を求める問題です。
- 関数f(x)の極大値と極小値の差が9/16となるaの値を求める問題です。
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3次関数の微分の問題
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こんにちは。 ［163］ 3次関数f(x)＝x^3-ax^2が、0＜x＜1で極値をもたないための実数aに関する条件を求めよ。 ［答え］a≦0、3/2≦a ｆが極値を持たないということは、ｆを微分したｆ’がゼロになることがないということです。 ｆ’＝ ３ｘ^2 －２ａｘ ＝ ｘ（３ｘ－２ａ） ｘは正の数なので、あとは、３ｘ－ａ がゼロにならなければよいわけです。 ３ｘ－２ａ＝０ のとき ｘ＝２ａ／３ ０＜ｘ＜１ なので、 ０＜２ａ／３＜１ ０＜ａ＜３／２ これが、ｘが ０＜ｘ＜１ でｆがゼロになる条件です。 ですから、ｆがゼロにならない条件は、その範囲の外なのですから ａ≦０ または ３／２≦ａ ［164］ 関数f(x)＝1/3x^3-a^2x-1（a＞0）の極大値と極小値との差が9/16となるaの値を求めよ。 ［答え］ a＝5/3 まず、ｘ^3 の係数がプラスの数なので、グラフに描くと、極大値が極小値より先に来ることはわかりますよね。 ｆ’＝ ｘ^2 － ａ^2 ＝ （ｘ＋ａ）（ｘ－ａ） ａは正の数なので、ｘ＝－ａ のときにｆは極大、ｘ＝ａ のときに極小です。 ですから、差が ９／１６ になる条件は、 ｆ（－ａ）－ｆ（ａ） ＝ １６ です。
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sanoriさんこんにちは。 解答ありがとうございます。 すごく助かりました！ こんな解説が載ってたらいいのにと思います。 ありがとうございました。