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3次関数の微分の問題

こんにちは。 数研出版「ベーシックスタイル三訂版」の163、164の問題です。 解説が無いので分からず困っています。 ［163］ 3次関数f(x)＝x^3-ax^2が、0＜x＜1で極値をもたないための実数aに関する条件を求めよ。 ［答え］ a≦0、3/2≦a ［164］ 関数f(x)＝1/3x^3-a^2x-1（a＞0）の極大値と極小値との差が9/16となるaの値を求めよ。 ［答え］ a＝5/3 以上です。 どちらか一方だけでもかまいませんので、分かるかたよろしくお願いします。

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  • sanori
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こんにちは。 ［163］ 3次関数f(x)＝x^3-ax^2が、0＜x＜1で極値をもたないための実数aに関する条件を求めよ。 ［答え］a≦0、3/2≦a ｆが極値を持たないということは、ｆを微分したｆ’がゼロになることがないということです。 ｆ’＝　３ｘ^2　－２ａｘ　＝　ｘ（３ｘ－２ａ） ｘは正の数なので、あとは、３ｘ－ａ　がゼロにならなければよいわけです。 ３ｘ－２ａ＝０　のとき　ｘ＝２ａ／３ ０＜ｘ＜１　なので、 ０＜２ａ／３＜１ ０＜ａ＜３／２ これが、ｘが　０＜ｘ＜１　でｆがゼロになる条件です。 ですから、ｆがゼロにならない条件は、その範囲の外なのですから ａ≦０　または　３／２≦ａ ［164］ 関数f(x)＝1/3x^3-a^2x-1（a＞0）の極大値と極小値との差が9/16となるaの値を求めよ。 ［答え］ a＝5/3 まず、ｘ^3　の係数がプラスの数なので、グラフに描くと、極大値が極小値より先に来ることはわかりますよね。 ｆ’＝　ｘ^2　－　ａ^2　＝　（ｘ＋ａ）（ｘ－ａ） ａは正の数なので、ｘ＝－ａ　のときにｆは極大、ｘ＝ａ　のときに極小です。 ですから、差が　９／１６　になる条件は、 ｆ（－ａ）－ｆ（ａ）　＝　１６ です。

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質問者からのお礼

sanoriさんこんにちは。 解答ありがとうございます。 すごく助かりました！ こんな解説が載ってたらいいのにと思います。 ありがとうございました。

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