にゃんこ先生の予想、4次関数のグラフのある性質

質問

にゃんこ先生といいます。

4次の係数が正の4次関数が極値を3個持つとき、画像のようになりますが、極大値をとるxの値から極小値をとるxの値が離れるほど、極小値は小さくなり、さらの極小値付近のグラフの形状は鋭くなるように思いました。数学的に書くと次のようになります。

4次関数
y=f(x)
があり、
y’(x)=f’(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)　(ただし、α<β<γ)
とします。

このとき、
β-α>γ-β
であれば、
f(α)<f(γ)
となるだろうと予想します。

さらに、
「f(x)をx=αでテーラー展開したときの2次の係数」>「f(x)をx=γでテーラー展開したときの2次の係数」
となるだろうと予想します。

また、一般に、n次関数のグラフがn-1個の異なる極値を持つときにも、同様な性質を持つのでしょうか？

しばらく考えたのですが、計算が複雑になりすぎて、結論が出ません。
反例もしくは証明を教えていただけないでしょうか？

回答No.4

f272 · ベストアンサー

読み直してみると確かに変なことを書いてるね。はじめは

f(x)の極小値f(α)とf(γ)についてf(α)=f(γ)であれば
f(x)=(x-α)^2(x-γ)^2+(定数)
と書けます。このとき極大値をとるxの値βはf'(x)=2(x-α)(x-γ)((x-α)+(x-γ))=0から簡単にβ=(α+γ)/2とわかる。つまりβ-α=γ-βということです。
これの対偶を考えればよい。

と書いていたんだけど、不等号の部分をちゃんとと書こうとして#1のようになってしまいました。

お礼

ありがとうございます。

f(x)の極小値f(α)とf(γ)についてf(α)=f(γ)であれば
極大値をとるxの値βはβ=(α+γ)/2
ということはわかりました。

しかし、この対偶は、
β≠(α+γ)/2ならばf(α)≠f(γ)
であって、
β>(α+γ)/2ならばf(α)<f(γ)
ということではないと思います。

回答No.3

noname#111804

たとえば
X^4＋２X^3＋３X^2＋４X＋５＝０

としたとき、それは成立するかもしれませんね。
正値係数はかなり強い条件なので。

回答No.2

nag0720

最初の予想だけ。

f'(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)
から
f(x)={3x^4-4(α+β+γ)x^3+6(αβ+βγ+γα)x^2-12αβγx+Ｃ}/12

f(γ)-f(α)を計算すると、
f(γ)-f(α)=(γ-α)^3(2β-γ-α)/12＞0

お礼

まことにありがとうございます。
計算を確かめることができました。

n次関数のグラフがn-1個の異なる極値を持つときにも、同様な性質を持ちそうですが、さらなる上手な計算方法をご存知の方は教えていただけないでしょうか？

回答No.1

f272

f(x)の極小値f(α)とf(γ)についてf(α)<f(γ)であれば適当な正の数εを使ってf(α+ε)=f(γ)と出来ます。そうすると
f(x)=(x-(α+ε))^2(x-γ)^2+(定数)
と書けます。このとき極大値をとるxの値βはf'(x)=2(x-(α+ε))(x-γ)((x-(α+ε))+(x-γ))=0から簡単にβ=((α+ε)+γ)/2とわかる。つまりβ-(α+ε)=γ-β言い換えるとβ-α>γ-βということです。

さらに
f'(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)
から
f''(x)=(x-β)(x-γ)+(x-α)(x-γ)+(x-α)(x-β)
となって
f(x)をx=αでテーラー展開したときの2次の係数f''(α)/2=(α-β)(α-γ)/2=(β-α)(γ-α)/2
f(x)をx=γでテーラー展開したときの2次の係数f''(γ)/2=(γ-α)(γ-β)/2
ですから
「f(x)をx=αでテーラー展開したときの2次の係数」>「f(x)をx=γでテーラー展開したときの2次の係数」
ですね。

> しばらく考えたのですが、計算が複雑になりすぎて、結論が出ません。

どんな計算をしたのですか？

お礼

まことにありがとうございます。
後半のテーラー展開はたいへんよくわかりました。
しかし、前半で、
f(x)=(x-(α+ε))^2(x-γ)^2+(定数)
となることがどうしてもわかりません。
もしかして何かの勘違いと思われるのですが。