２変数関数の極値の問題
- ２変数関数の極値を求める問題についてまとめました。
- 解いたところ、極値を持ちうる座標の候補として、(0,1/2),(1,1),(-1,1)を得ました。
- 点(0,1/2)で極小値-1/4が得られ、点(-1,1)では極値を持たないことが分かりました。
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２変数関数の極値の問題
f(x,y)=y^2-ｙｘ^2-y+x^2について極値を求めろという問題です。 １階と２階偏導関数を求めて、まず、f[x]=0とf[y]=0（xとyでの偏導関数を表しています）を解いたところ、極値を持ちうる座標の候補として、(0,1/2),(1,1),(-1,1)を得ました。 その後、｛f[xy](0,1/2)｝^2-f[xx](0,1/2)f[yy](0,1/2)を計算したところ、-2となり-2<0であり、f[xx](0,1/2)=1>0なので点(0,1/2)で極小値-1/4が得られました。 点(-1,1)についても同様に計算したところ、｛f[xy](-1,1)｝^2-f[xx](-1,1)f[yy](-1,1)=2>0となり、極値を持たないことが分かりました。 しかし、点(1,1)については、｛f[xy](1,1)｝^2-f[xx](1,1)f[yy](1,1)=-2<0となるのですが、f[xx](1,1)=0となってしまいます。 この場合は、極値はもちえるのでしょうか？ 鞍点となり、極値にはならないのでしょうか？ ネットで調べてみましたが、見つけられませんでした。 分かる方、ご指南お願いします。 また、点(0,1/2),(-1,1)の解答は合っていますでしょうか？ こちらもお答えいただけると幸いです。
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結論から言うと (0,1/2)は極小点 (1,1)は鞍点 (-1,1)も鞍点 となります。 >極値を持ちうる座標の候補として、(0,1/2),(1,1),(-1,1)を得ました。 これは合っています。 >｛f[xy](0,1/2)｝^2-f[xx](0,1/2)f[yy](0,1/2)を計算したところ、-2となり-2<0であり、f[xx](0,1/2)=1>0なので点(0,1/2)で極小値-1/4が得られました。 これも合っています。 >点(-1,1)についても同様に計算したところ、｛f[xy](-1,1)｝^2-f[xx](-1,1)f[yy](-1,1)=2>0となり、極値を持たないことが分かりました。 この計算は間違っています。 f[xy](-1,1)｝^2-f[xx](-1,1)f[yy](-1,1)=4>0 となります。結果として極値を持たないことは同じです。 詳しく調べるとx=-1のときf(-1,y)=(y-1)^2でy=1の前後で極小、 x=-yの時f(-y,y)=-y(y-1)^2でy=1の前後で極大となるので(-1,1)は鞍点であると言える。 >しかし、点(1,1)については、｛f[xy](1,1)｝^2-f[xx](1,1)f[yy](1,1)=-2<0となるのですが、f[xx](1,1)=0となってしまいます。 >この場合は、極値はもちえるのでしょうか？ >鞍点となり、極値にはならないのでしょうか？ この計算もも違っています。 ｛f[xy](1,1)｝^2-f[xx](1,1)f[yy](1,1)=4>0 となりますので極値を持ちません。 詳しく調べるとx=1のときf(1,y)=(y-1)^2でy=1の前後で極小、 x=yの時f(y,y)=-y(y-1)^2でy=1の前後で極大となるので(1,1)は鞍点であると言えます。
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お礼
＞この計算もも違っています。 ｛f[xy](1,1)｝^2-f[xx](1,1)f[yy](1,1)=4>0 本当ですね。 計算ミスしてました。 ２乗するのを忘れていました。 どうもありがとうございました！