２変数関数の極値の問題

質問

f(x,y)=y^2-ｙｘ^2-y+x^2について極値を求めろという問題です。
１階と２階偏導関数を求めて、まず、f[x]=0とf[y]=0（xとyでの偏導関数を表しています）を解いたところ、極値を持ちうる座標の候補として、(0,1/2),(1,1),(-1,1)を得ました。
その後、｛f[xy](0,1/2)｝^2-f[xx](0,1/2)f[yy](0,1/2)を計算したところ、-2となり-2<0であり、f[xx](0,1/2)=1>0なので点(0,1/2)で極小値-1/4が得られました。
点(-1,1)についても同様に計算したところ、｛f[xy](-1,1)｝^2-f[xx](-1,1)f[yy](-1,1)=2>0となり、極値を持たないことが分かりました。

しかし、点(1,1)については、｛f[xy](1,1)｝^2-f[xx](1,1)f[yy](1,1)=-2<0となるのですが、f[xx](1,1)=0となってしまいます。
この場合は、極値はもちえるのでしょうか？
鞍点となり、極値にはならないのでしょうか？
ネットで調べてみましたが、見つけられませんでした。
分かる方、ご指南お願いします。

また、点(0,1/2),(-1,1)の解答は合っていますでしょうか？
こちらもお答えいただけると幸いです。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

結論から言うと
(0,1/2)は極小点
(1,1)は鞍点
(-1,1)も鞍点
となります。

>極値を持ちうる座標の候補として、(0,1/2),(1,1),(-1,1)を得ました。

これは合っています。

>｛f[xy](0,1/2)｝^2-f[xx](0,1/2)f[yy](0,1/2)を計算したところ、-2となり-2<0であり、f[xx](0,1/2)=1>0なので点(0,1/2)で極小値-1/4が得られました。

これも合っています。

>点(-1,1)についても同様に計算したところ、｛f[xy](-1,1)｝^2-f[xx](-1,1)f[yy](-1,1)=2>0となり、極値を持たないことが分かりました。

この計算は間違っています。
f[xy](-1,1)｝^2-f[xx](-1,1)f[yy](-1,1)=4>0
となります。結果として極値を持たないことは同じです。
詳しく調べるとx=-1のときf(-1,y)=(y-1)^2でy=1の前後で極小、
x=-yの時f(-y,y)=-y(y-1)^2でy=1の前後で極大となるので(-1,1)は鞍点であると言える。

>しかし、点(1,1)については、｛f[xy](1,1)｝^2-f[xx](1,1)f[yy](1,1)=-2<0となるのですが、f[xx](1,1)=0となってしまいます。
>この場合は、極値はもちえるのでしょうか？
>鞍点となり、極値にはならないのでしょうか？

この計算もも違っています。
｛f[xy](1,1)｝^2-f[xx](1,1)f[yy](1,1)=4>0
となりますので極値を持ちません。
詳しく調べるとx=1のときf(1,y)=(y-1)^2でy=1の前後で極小、
x=yの時f(y,y)=-y(y-1)^2でy=1の前後で極大となるので(1,1)は鞍点であると言えます。

お礼

＞この計算もも違っています。
｛f[xy](1,1)｝^2-f[xx](1,1)f[yy](1,1)=4>0

本当ですね。
計算ミスしてました。
２乗するのを忘れていました。
どうもありがとうございました！