関数の極値を求める問題が分かりません

質問

「f(x,y)=xy(2-x-y)の極値を求めなさい。」という問題の過程で、停留点が（0,0）,(0,2),(2,0),(2/3,2/3)と求まるのですが、(0,0),(2,0),(0,2)が極値でないことを説明できません。
どなたか説明できる方がいらっしゃいましたら教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.1

ereserve67

f_x=2y-2xy-y^2=y(2-2x-y)

f_y=2x-x^2-2xy=x(2-x-2y)

f_{xx}=-2y

f_{yy}=-2x

f_{xy}=f_{yx}=2(1-x-y)

ここで(a,b)を（0,0）,(0,2),(2,0),(2/3,2/3)のいずれかとする．

微分積分の教科書※に以下の理論が必ず載っているはずです．

『ある領域でf(x,y)は2回連続微分可能とする．

f_x(a,b)=f_y(a,b)=0

とする．

A=f_{xx}(a,b) B=f_{xy}(a,b) C=f_{yy}(a,b)　⊿=AC-B^2

とおく．このとき，

(1)A>0，⊿>0ならばf(a,b)は極小値
(2)A<0，⊿>0ならばf(a,b)は極大値
(3)⊿<0ならばf(a,b)は極値ではない

が成り立つ．』

今の場合，

A=f_{xx}(a,b)=-2a B=f_{xy}(a,b)=2(1-a-b) C=f_{yy}(a,b)=-2b
⊿=AC-B^2=(-2a)(-2b)-{2(1-a-b)}^2
=4ab-4(1+a^2+b^2-2a+2ab-2b)=4(ab-1-a^2-b^2+2a-2ab+2b)=4(-ab-a^2-b^2+2a+2b-1)
=-4(a^2+ab+b^2-2a-2b+1)=-4{(a+b)^2-ab-2(a+b)+1}=-4{(a+b-1)^2-ab}

a=b=2/3のとき

A=f_{xx}(2/3,2/3)=-4/3<0 ⊿=-4{(1/3)^2-4/9)=4/3>0

であるから

f(2/3,2/3)は極大値

(a,b)=(0,0),(2,0),(0,2)のとき

⊿=-4<0

であるからf(0,0),f(2,0),f(0,2)は極値でない．

※例えば，ちょっと古いですが，田島一郎他著「改訂工科の数学　微分積分」（培風館，昭和42年）
※http://tau.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2009.calculus-II/html.dir/node55.html
※二変数関数　極値でググる